《新人教A版高中数学（选修2-1）2.1《曲线与方程》word教案4篇》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教A版高中数学（选修2-1）2.1《曲线与方程》word教案4篇（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.12.1 曲线与方程曲线与方程 一、学习目标：一、学习目标：1. 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。二、重点、难点：二、重点、难点：重点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。难点：难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。三、考点分析：三、考点分析：本讲内容是我们学习并
2、学好圆锥曲线与方程的关键性内容，也是最重要的内容。我们首先应理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，在高考中一般以小题的形式考查。其次就是会求曲线的方程，这部分内容一般以大题的形式考查。要注重对通性通法的求解和运用。1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线 C 上的点的坐标都是方程 f（x，y）0 的解； （2）以方程 f（x，y）0 的解为坐标的点都在曲线 C 上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点 M 的坐标；（2）写出适合条件 P 的
3、点 M 的集合 P=M|P（M）；（3）用坐标表示条件 P（M） ，列出方程 f（x，y）=0；（4）将方程 f（x，y）=0 化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线 C 上的点。 （查漏除杂）.3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有 x，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补” 。（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义） ，可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程
4、，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P（x，y）却 随另一动点 Q（ y, x）的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将 y, x表示为 x，y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然后整理得出 P 的轨迹方程。代入法也称相关点法。（4）参数法：若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时，则可借助中间变量（参数） ，使 x，y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数（求两动直线的交点时常
5、用此法） ，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。交轨法可以说是参数法的一种变形。4. 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系.知识点一知识点一 曲线与方程的概念的运用曲线与方程的概念的运用例 1. 下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线 l，为什么？（1）xy=0 （2）=0（3）x2y2=0 （4）|x|y=0思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本题考查对曲线与方程的概念的准确理解。2）解题思路：解题思路：先看图，分析其表示的解析式，然后对已
6、知的 4 个选项进行逐个分析。解答过程：解答过程：方程（1）是表示直线 l 的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线 l 的方程。（2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（1，1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论。（3）中虽然“直线 l 上的点的坐标都是方程的解”，但以方程 x2y2=0 的解为坐标的点不全在直线 l 上，如点（2，2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论。（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（1，1）。解题后的思考：解题后的思考：理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正
7、确的判定。判定时必须要同时满足（1）直线 l 上的点的坐标都是方程的解。 （2）以方程的解为坐标的点都在直线上。例例 2. （1）判断点 M1（3，4），M2（2，2）是否在方程 x2+y2=25 所表示的曲线 上。（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于 5 的圆的方程是 x2+y2=25。思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本题考查点与曲线的位置关系，以及利用定义求解曲线方程。2）解题思路：解题思路：第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上。第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明。解答过程：解答过程：解析：解析
8、：（1）把点 M1（3，4），M2（2，2）分别代入到方程中，可知前者满 足方程，后者不满足。（2）设圆心坐标为（0，0），半径为 r=5，圆上的任意一点P（x，y），结合两点间距离公式，我们得到圆上的点满足的方程。解题后的思考：解题后的思考：运用定义找关系式，进而求解方程。运用定义找关系式，进而求解方程。例例 3. 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0( kk的点的轨迹方程是kxy。思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本题考查对曲线方程的概念的理解和运用。2）解题思路：解题思路：先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明。解答过程：解答过程： 证明：（1）设 M（x0，y0）是轨迹上的
9、任意一点，因为点 M 与x轴的距离为0y，与y轴的距离为0x，所以 kyx00即),(00yx是方程kxy的解。（2）设1M的坐标),(11yx是方程kxy的解，那么kyx11即kyx11，而11, yx正是点1M到x轴，y轴的距离，因此点1M到两条坐标轴的距离的积是常数k，点1M是曲线上的点。由（1） （2）可知，kxy是与两条坐标轴的距离之积是常数)0( kk的点的轨迹方程。解题后的思考：解题后的思考：注意要从两个方面来证明曲线的方程的概念的运用。例例 4. 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）x2=0（2） （2x+3y5） （0) 13x（3） （3x4y12）0 3)2(log2
10、yx（4）0324222yxyx思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本题考查如何理解方程表示的曲线。2）解题思路：解题思路：根据曲线方程的定义进行分析时，要保证所求得曲线的纯粹性和完备性。解答过程：解答过程：（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于 y 轴的直线；（2）因为 0) 13)(532(xyx. 4) 3(05324) 3(0532013030532 xxyxxxyxxxyx和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或故方程表示的曲线为一条射线)3x(05y3x2和一条直线 x=4。（3）因为（3x4y12）0 3)2(log2yx直线。线（除去端点）和一条故表示的曲线为一条射或即或
11、82)512(0124303)2(log02012432 yxxyxyxyxyx故方程表示的曲线为一条射线 512x012y4x3（除去端点）和一条直线x+2y=8。（4）因为0324222yxyx0) 1() 1(222yx则方程表示的图形为一个点（1，1）解题后的思考：解题后的思考：我们所说的曲线是指广义的曲线，它可以是一般的曲线，也可以是直线、线段，甚至是一个点。对于表达式要通过合理的变形化简得到。知识点二：求曲线的方程知识点二：求曲线的方程例例 5. 设 A、B 两点的坐标是 （1，1） 、 （3，7） ，求线段 AB 的垂直平分线的方程.思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本
12、题考查如何求解曲线方程。2）解题思路：解题思路：首先分析由于求解的是直线方程，所以应利用直线方程的求解方法得到。其次，我们可以直接运用求曲线方程的一般步骤进行求解。解答过程：解法一：解答过程：解法一：7( 1)23 ( 1) ABk，所求直线的斜率 k=0.5又线段 AB 的中点坐标是1 31 7(,)22 ，即（1，3）线段 AB 的垂直平分线的方程为13(1)2yx .即 x+2y7=0解法二：解法二：:若没有现成的结论怎么办?需要掌握一般性的方法解：解：设 M（x，y）是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点，则|MA|=|MB|2 22 22 22 2( (x x + +1 1) ) +
13、 +( (y y + +1 1) ) = =( (x x - -3 3) ) + +( (y y - - 7 7) )2 22 22 22 2x x + +2 2x x + +1 1+ +y y + +2 2y y + +1 1= = x x - -6 6x x + +9 9+ +y y - -1 14 4y y + +4 49 9270xy（）（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程270xy的解；（2）设点1M的坐标11( ,)x y是方程（）的解，即11270xy以上变形过程步步可逆，2 22 22 22 2 1 11 11 11 1( (x x + +1 1) ) +
14、+( (y y + +1 1) ) = = ( (x x - -3 3) ) + +( (y y - -7 7) )1 11 1MM A A = = MM B B综上所述，线段 AB 的垂直平分线的方程是x x + +2 2y y - - 7 7 = = 0 0。解题后的思考：解题后的思考：第一种解法运用了现成的结论，解题时比较容易，但它需要你对所研究的曲线有一定的了解；第二种解法虽然有些走弯路，但这种解法具有一般性。例例 6. 已知点 M 与x轴的距离和点 M 与点 F（0，4）的距离相等，求点 M 的轨迹方程。思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本题考查在坐标系中求解点的轨迹方程。
15、2）解题思路：解题思路：根据已知的坐标系，结合两点间的距离公式，我们可通过点 M 满足的关系式来求解。解答过程：解答过程：设点 M 的坐标为（x，y）点 M 与x轴的距离为y，22(4)FMxyy=22(4)xy222816yxyy2816xy就是所求的轨迹方程。解题后的思考：解题后的思考：注意对于用坐标表示的距离，解题时一定要加上绝对值，确保不漏掉解。例例 7. 经过原点的直线 l 与圆226490xyxy相交于两个不同点 A、B，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程。思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本题以直线与圆的位置关系为背景，研究相交弦的中点的轨迹方程的求解。 2）解题思路：解题思路：先设出点的坐标，利用中点公式和圆的方程，OMABkk，我们得到所求点与弦端点的坐标关系式，从而求其轨迹方程；或者直接设直线方程，引入参数 K，然后消去参数求轨迹方程。 解答过程：解法一：解答过程：解法一：设 M( , )x y，A11( ,)x y，B22(,)xy121222xxxyyy且22 111122 222264906490xyxyxyxy由得12121212()()()()xxxxyyyy12126()4()0xxyyOMA
