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1、数 学 解题方法与技巧 例谈联想在数学解题 中的妙用 甘肃武威市第十五 中学( 7 3 3 0 0 0 ) 刘秀梅 所谓联想 ， 就是由此问题的形态和性质等方面想到 与之相近、 相似的问题 ， 从而找到解题方法的一种思维 方法 在解题 过程 中， 尤 其是 问题一 时难 以找 到突破 口 或是方 法较 为复 杂时 ， 我们 应该联 想到 与之 相近 、 相 似 的问题 通过变形、 转换使之变成容易解决的问题 ， 从而 使复杂 的问题简单化， 抽象的问题具体化 ， 这样就能够 收到事半功倍的效果 本文试举几例来说明联想在解题 中的妙用 【 例 1 】 求 J2 x 2 6 +9 + 2 x 2
2、1 0 x +1 7 的 值域 分析 ： 变 量 Y是 关 于 z 的无 理 函数 ， 难以直接求解 如果把它进行 变形整理 ， 可得 Y 一 、 ( z 一3 ) 。 + + ( z一1 ) +( 一4 ) 。 ( ER) 由这一 形式很 容易联 想到两 点 y A 0 B 图 1 之间的距离公式， 则原问题就转化为求动点( z ， ) 到定 点 ( 3 ， O ) 和定点 ( 1 ， 4 ) 的距离和 的范围 如图 1 ， 由三角形三边之间的关系易知 ( 3 1 ) +( 0 4 ) 一2 5 ， 即所求值域为 I 2 ， y ER ) 【 例 2 】 求 s i n l 0 。 s i
3、n 3 0 。 s i n 5 0 。 s i n 7 0 。 的值 分析： 本题可用积化和差进行计算， 但运算量大， 此 时联想到它的对偶式 c o s l 0 。 c o s 3 0 。 c o s 5 0 。 c o s 7 0 。 令 As i n l 0 。 s i n 3 0 。 s i n S 0 。 s i n 7 0 。 ， 则 Bc o s l 0 。 c o s 3 0 。 t o s S 0 。 c o s 7 0 。 A B s i n l O。 s i n 3 0 。 s i n 5 0 。 s i n 7 0 。 c o s l 0 。 c o s 3 0 。 c
4、 o s 5 0 。 1 1 c os 7 0。一 s i n 2 0 。s i n 6 0 。s i n l 0 0。s i nl 4 0 。一 c o s 1 0 。 J n I h c o s 3 0 。c o s 5 0。 c o s 7 0 。 一 B 上O 1 1 即 A B一 B， 又 Bo ， 所 以 A一 上O 上O 这样求解简单 、 快捷， 学生能从解题 中享受解题 的 乐趣 【 例 3 】 证 明 1 一C 。 。 +C 。 。 一 。 。 + + C j 一 一 2 分析 ： 本题从 表 面看来 较 为复 杂 ， 且 不 易找 到 突破 口， 如果能够联想 到( 1 +
5、i ) 。 的展开 式 ， 则问题解 决就容 易 了 证 明 ： 。 ( 1 + i ) 。 一 ( 1 一 。 。 +ao 。 + + C ) +( c l 。 。 一 一 。 。 一一 。 ) ， 6 2 学教学参考2 o 年 月 总第 期 又 ( 1 +i ) ” 一 2 ， 由复数相等的条件可得 1 一C 。 。 +q。 。 一 + c l 一一2 【 例 4 】 当 1 a b 时 ， 求证 ： n 6 口 分析 ： 对不等式两边同时取常用对数得 ( 6 1 ) l g n ( 口 一 1 ) l g b ， 变形得 由表达式 联 想到 两点 间 的斜率 公式 ， 考 虑 函数 _厂
6、 ( z ) 一l g x ， 去掉点 C ( 1 ， O ) ， A( a ， l g a ) ， B( b ， l g b ) ， 则 所证结论 即为 K K ， 如图 2 又 I d a b o 一 【 例 5 】 求 s i n 1 7 。 +s i n 2 4 3 。 + s i n l 7 。 s i n 4 3 。 的值 A ， D C( 1 ， 0 ) 图 2 分析： 本题所给角度为 4 3 。 和 1 7 。 ， 如果利用三角关 系式化简求值 ， 计算相 当复杂， 且容易出错 考虑到“ a +6 。 - F a b ” 与余弦定理相似， 不妨构造三角形来求解 令 A一1 7
7、。 ， B=4 3 。 ， C 一1 2 0 。 ， 由正弦定 理可得 s i nl 7 。 一 ， s i n 4 3 。 一 b， s 砌2 o0 C( RAAB C 外接圆的半径) 则有 s i n 2 1 7 。 +s i n 2 4 3 。 +s i n 1 7 。 s i n 4 3 。 一( ) 。 + ( ) + 2 R 。二 1 ( n +6 。 2 n b c o s 1 2 0 。 ) 一 i n 2 1 2 0 。 一 旦 4 以上所举各例 旨在说明联想在解题中的应用， 它在 数学教学中具有重要的意义 在 日常教学中， 注意结合 教学 内容创造问题情境， 引导学生积极联想 ， 既可有效 地调动学生学 习数学 的兴趣 ， 对学 生数学 能力 的形成也 有一定 的作用 ( 责任 编辑金铃 )
