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1、2 0 1 4 年第1 、 2 期 福建中学数学 9 3 一个不等式问题的多视角探究 平卫星 江苏省常熟市中学 ( 2 1 5 5 0 0 ) 题 目 已知 a0，b 0，c 0，且 C l +b + c =6， 求 = 日 +2 b c + 6 + 2 c a + c +2 a b的最大值 这是 2 0 1 1 年希腊奥林匹克数学竞赛的一道不等 式试题它是一个涉及到无理因式的多变量条件最 值问题，此赛题结构形式简洁优美，题型常规中有 特色，解法探寻耐人寻味颇有研究价值于此笔 者从不同的视角入手给出这一问题的一些解法并得 出原赛题的两个推广，供读者在学习和探究时参考 视角 1均值不等式视角 考
2、虑式子为三次根号的结构特征，结合等号成 立条件 ，利用三元均值不等式处理 解法 1由均值不等式得 1 a +2 b c+1 2+1 2 0 ) ， I l -T r “ f ( ) = 一 1 0，Y 0，z 0，且 X + + z ：3 6， 求 S= +Y +z 的最大值 这样，问题就相当明朗，采用上述方法均可把 问题得以解决，留给读者自己完成笔者将从另外 视角再给出两种方法 视角 4权方和不等式视角 注意到条件与结论的关联，考虑权方和不等式 处理 解法 4利用权方和不等式，得 3 6 ： + + z 3 = 鲁 十 孚 + ； = 等 S 3 6 x 9 =3 1 2，则 S3 1 2，
3、 当且仅当X =Y = z = 1 2，不等式取等号 即当且仅当a = b = C =2 时不等式取等号， 所以 的最大值为3 ff i 2 视角 5重要不等式视角 鉴于条件为三次，而所求式子为一次，故采用 9 4 福建中学数学 2 0 1 4 年第 1 、 2 期 三元均值不等式处理 解法 5注意到等号成立的条件配上数字， 利用三元均值不等式得 + 1 2 十 1 2 3 x 3 1 2 ， 即得 3 x 1 2 一 2 4； 同理得Y 3 y 3 1 2 一 2 4；z 3 z 3 1 2 一 2 4 三式相力 得 + Y + z 3 3 1 2 ( + Y + z ) 一 7 2 ， =
4、 x+y+z 3 1 2 ， 当且仅当 =Y = z = l 2，不等式取等号 即当且仅当 a =b=c =2时不等式取等号 ， 所以 的最大值为 3 3 1 2 从 以上的解法中，不能将这一竞赛题作出推广 命题1已 知 0 且a i = A， 则S = l 0 十 2 兀n ， a k 的 最大 值为i ( ) i =1 ， ， 证明 考察函数f ( x ) = ( 0 ) ， 1 2 由 于 厂 ( ) = 一 去 0 且a ， = A ， 0 m l ， 则S = I ：l 2m ( + 2 1 - I ， ) 的 最大 值为 1 =1 ， 证明 当m= 0 或m= 1 时，命题 2 显
5、然成立 考察函数f ( x ) = X m 0 ， 0 m 1 ) ， 由于 _厂 ( ) =m ( m一 1 ) x 一 0， 因此函数 f ( x ) 在 ( 0 ， + ) 上凸， 由 琴生 不等 式， 得 = f ( a + 2 兀 ， ) J =l i k l ( + 2 1 - I a j a ) ( ， z ( ) 4 ： 4 = ( _L) ： ( 二 l_) = 二 _ 7 7 当且仅当 = a ， 一 一三时不等式取等号， 所以 n z l 2m 的最大值为 ，命题 2成立 由于该题特有的结构特征和多方位 的视野 ，为 我们提供 了丰富的思维空间和展示平台，笔者通过 不同视
6、角对该题的深入探究，得出了赛题的五种解 法和两个推广，揭示了问题的本质一题多解探究 的过程 ，就是深入理解数学的过程 ，是沟通 已有知 识经验向纵深发展的过程 ，使知识结构有效重组与 整合 ，从而构建成有序 的网络化知识体系 深化数 学理性认识，自 觉建构认知结构并积极优化的过程， 使解题智慧得到开发，创新思维和创造能力得到培 养和提高的过程 加强对经典问题多视角的探究 ， 能有效地培养学生的发散思维 ，提高解题能力 ，提 升数学素养 一道预赛题解法的探究 例谈“ 小题大做” 罗文军 甘肃省天水市秦安县第二中学 ( 7 4 1 6 0 0 ) 1引言 在平时的学 习中，如果遇到填空题等小题 时， 调动所学知识 ，认真审视小题，精彩解法就会像雨 后春笋一样涌现出来 本文把 2 0 1 2年全 国高中数学 联赛甘肃预赛试卷填空题第 8 题“ 小题大做” ， 在不同 视角下给出这道题的多种解法 ，以飨读者 2题 目 实数 X ， Y ， z 满足X + Y + z =1 ，则x y + y z 的最 大值为( 本题 的答案为 )
