《2017人教A版数学必修五《等比数列的前n项和》教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017人教A版数学必修五《等比数列的前n项和》教案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列的前数列的前 n n 项和项和一、创设问题情景一、创设问题情景1.已知递增的等比数列满足,且是的等差中项. na28432aaa23a42,aa()求数列的通项公式; na()若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.12lognnabnS nbn424nSnn解解: :（）设等比数列的公比为,依题意有, (1) naq423)2(2aaa又,将(1)代入得.所以.28432aaa83a2042 aa于是有 解得或 , 8,202 13 11 qaqaqa , 2, 21 qa.21,321qa又是递增的,故. 所以. na2, 21qan na2(),. 12log1 2nbn n232n
2、nSn故由题意可得,解得或.又, 234242nnn12n7n N Nn所以满足条件的的最小值为 13. n二、学生探究自学二、学生探究自学 （一）前（一）前 n n 项和公式项和公式 S Sn n的定义：的定义：S Sn=a1+a2+an。 （二）数列求和的方法（共（二）数列求和的方法（共 8 8 种）种） 1.1.公式法：公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的 数列；4）常用公式:（1）；1nkk12123(1)nn nL（2）；21nkk222216123(1)(21)nn nnL（3）；31nkk33332(1)2123n nnL（4）。1(2
3、1)nkk2n1)-(2n.5312.2.分组求和法：分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列 或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。3.3.倒序相加法：倒序相加法：如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前 n 项和即是用此法 推导的。 4.4.裂项相消法：裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于其中是 各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘 1nnaacna的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：1
4、1nnaa11nnaa na；2）。 （根式在分母上时可考虑（根式在分母上时可考虑111111()nnnnaad aa1 111()nn nnaadaa 利用分母有理化，因式相消利用分母有理化，因式相消 求和）求和） 常见裂项公式常见裂项公式：（1）；111(1)1n nnn（2）；11 11()() n nkknnk（3）；1111(1)(1)2(1)(1)(2) n nnn nnn（4）11(1)!(1)!nnnn（5）常见放缩公式：.21211 112()2()nnnn nnnnn 三、引导学生探究三、引导学生探究题型题型 1 1 公式法公式法例例 1 1 数列bn的通项公式为 bn=3
5、n1. （ 1）求数列bn的前 n 项和 Sn的公式； （2）设 Pn=b1+b4+b7+b3n2，Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中 n=1，2，试比较 Pn与 Qn 的大小，并证明你的结论.解解: :（1）Sn=n2+n.2)(1nbbn 23 21（2）b1，b4，b7，b3n2组成以 3d 为公差的等差数列，所以 Pn=nb1+3d=n2n；2) 1( nn 29 25b10，b12，b14，b2n+8组成以 2d 为公差的等差数列，b10=29，所以 Qn=nb10+2d=3n2+26n.2) 1( nnPnQn=（n2n）（3n2+26n）=n（n19）.29 25 2
6、3所以，对于正整数 n，当 n20 时，PnQn； 当 n=19 时，Pn=Qn；当 n18 时，PnQn.变式训练变式训练 1 1 等比数列的前项和 S2p，则_.na22 32 22 1naaaaL解：解：1）当 n=1 时，；p-2a12）当时，。2n 1 -n1 -nn 1 -nnn2p)-(2-p)-(2S-Sa因为数列为等比数列，所以na1p12p-2a1 - 11从而等比数列为首项为 1，公比为 2 的等比数列。na故等比数列为首项为 1，公比为的等比数列。 2 na4q21)-(431 4-1)4-1(1nn 22 32 22 1naaaaL小结与拓展：小结与拓展：1）等差数列
7、求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数 列的数列；4）常用公式:（见知识点部分） 。5）等比数列的性质：等比数列的性质：若数列为等比数列，na则数列及也为等比数列，首项分别为、，公比分别为、。 2 na na12 1a1a12qq1题型题型 2 2 分组求和法分组求和法例例 2 2 在数列中，已知a1=2，an+1=4an3n1，n. naN（1）设，求数列的通项公式;nabnn nb（2）设数列的前n项和为Sn，求Sn。 na解：解：（1）nnnnnbnannanab4)(4) 1(134) 1(11Q且1111 ab为以 1 为首项，以 4 为公比的等比数列 nb11 1
8、4nn nqbb（2） n nnabnn14Q2) 1( 314nnSnn变式训练变式训练 2 2 数列中，且点在函数的图象上.na11a 1(, )nnaa()nN( )2f xx（）求数列的通项公式；（）在数列中，依次抽取第 3，4，6，nana，项，组成新数列，试求数列的通项及前项和.122n nbnbnbnnS解：解：（）点在函数的图象上，。1(, )nnaa( )2f xx12nnaa，即数列是以为首项，2 为公差的等差数列，12nnaana11a 。1 (1) 221nann （）依题意知：11 222(22) 123nnn nba =.12nnSbbbL11(23)23nn ii
9、iin1 12232321 2n nnn 小结与拓展：小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列 或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。题型题型 3 3 裂项相消法裂项相消法例例 3 3 ( (武汉市武汉市20082008 届高三调研测试文科届高三调研测试文科) )设数列na的前 n 项和。 （1）求数列na的通项公式na；(2)记)N(n1,-1)4n(2n(-1)S2n n( 1)nn nba，求数列 nb前 n 项和nT解：解：（1）数列 na的前 n 项之和1-1)4n(2n(-1)S2n n在 n=1 时，1 11( 1) (24 1) 1
10、8as 在2n 时，1nnnass212( 1) (241)( 1)2(1)4(1) 1nnnnnn ( 1)4 (1)nn n 而 n=1 时 ，18a 满足( 1) 4 (1)n nan n 故所求数列 na通项( 1) 4 (1)n nan n （2）( 1)11 11()4 (1)41nn nban nnn因此数列 nb的前 n 项和1)4(nn)1n1-(141Tn当堂检测当堂检测已知数列 na的前n项和为nS，11a ，141nnSa，设12nnnbaa （）证明数列 nb是等比数列；（）数列 nc满足21 log3n ncb*()nN，求1 22 33 41nnnTc cc cc
11、 cc cL。证明：证明：（）由于141nnSa， 当2n 时，141nnSa 得 1144nnnaaa 所以 1122(2)nnnnaaaa 又12nnnbaa， 所以12nnbb因为11a ，且12141aaa，所以21314aa 所以12122baa故数列 nb是首项为2，公比为2的等比数列 解：解：（）由（）可知2nnb ，则211 log33n ncbn（n*N） 1 22 33 41nnnTc cc cc cc cL1111 4 55 66 7(3)(4)nnL11 44n4(4)n n小结与拓展：裂项相消法是小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用于其中是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、 1nnaacna含阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：11nnaa11nnaa na；2）。 （根式在分母上时可考虑（根式在分母上时可考虑111111()nnnnaad aa1 111()nn nnaadaa 利用分母有理化，因式相消求和）利用分母有理化，因式相消求和）四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
