《2014秋人教版数学八上《13.4课题学习：最短路径问题》教学设计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014秋人教版数学八上《13.4课题学习：最短路径问题》教学设计（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册 13.4.13.4.课题学习课题学习最短路径最短路径教学设计教学设计一、教材分析一、教材分析1 1、地位作用：、地位作用： 随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短” ，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。2 2、目标和目标解析：目标和目标解析：（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决
2、最 值问题中的作用；感悟转化思想.（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点” “河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3 3、教学重、难点、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.二、教学准备：二、教学准备：多媒体
3、课件、导学案三、教学过程三、教学过程教学内容与教师活动学生活 动设计意图一、创设情景一、创设情景 引入课题引入课题 师：师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短” 、 “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现学生思 考教师 展示问 题，并从生活中问 题出发，唤 起学生的学 习兴趣及探实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数 学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题” （板书）课题观察图 片，获 得感性 认识.索欲望.二、自主探究二、自主探究 合作交流合作交流 建构新知建构新知 追问追问 1 1：观察思考，抽象为数学问题
4、这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动活动 1 1：思考画图、得出数学问题：思考画图、得出数学问题 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线 B。Al追问追问 2 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识： （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是 怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题
5、就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图） lABCB强调：强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动活动 2 2：尝试解决数学问题：尝试解决数学问题 问题问题 2 2 ： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的 和最小？动手画 直线观察口 答动手连 线 观察口 答独立思 考 合作交 流汇报交 流成果， 书写理 由.为学生提供 参与数学活 动的生活情 境，培养学 生的把生活 问题转化为 数学问题的 能力.经历观察- 画图-说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能力.达到轴对
6、称 知识的学以 致用注意问题解 决方法的小 结：抓对称 性来解决追问追问 1 1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合 条件的点B吗？ B。Al问题问题 3 3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的 和最小？师生活动：师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互 相补充 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B； （2）连接AB，与直线l 相交于点C，则点C 即为所 求 如图所示：如图所示：lCAB问题问题 3 3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 教师展示：教师展示
7、：证明：如图，在直线l 上任取一点C（与 点C 不重合） ，连接AC，BC，BC思考感 悟活动 1 中的将 军饮马 问题， 把刚学 过的方 法经验 迁移过 来学生独 立完成， 集体订 正及时进行学 法指导，注 重方法规律 的提炼总结.学以致用， 及时巩固注意问题解BlACB由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB，AC+BC= AC+BCBlABCC方法提炼：方法提炼： 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 问题问题 4 4 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下 的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处， 请画出旅游
8、船的最短路径 ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象 为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的 同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小” 学生独 立完成， 集体订 正互相交 流解题 经验独立完 成，交 流经验决方法的小 结：抓轴对 称来解决经历观察- 画图-说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能力.提炼思想方 法：轴对称， 线段和最短体会转化思 想，问题问题 5 5 造桥选址问题造桥选址问题 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在
9、河上造一座桥 MN.乔早在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定 河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA思维分析：1、如图假定任选位置造桥，连接和 ，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么情 况下最短呢？ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？BA 思维点拨：改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？ 什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法） 1、把 A 平移到岸边. 2、把 B 平移到岸边. 3、把桥平移到和 A 相连. 4、把桥平移到和 B 相连. 教师：教师：上述方法都能做到使 AM+MN+BN 不变呢？请检验. 1、2 两种
10、方法改变了.怎样调整呢？把 A 或 B 分别向下或 上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决：如图，平移 A 到 A1，使A1 等于河宽，连接 A1交河岸于作桥，此时路径最 短. 理由；另任作桥，连接 ，. 由平移性质可知，观察思 考，动 手画图， 用轴对 称知识 进行解 决各抒己 见合作与 交流体验轴对称 知识的应用动手体验动手作图， . AM+MN+BN 转化为，而 转化为 . 在中，由线段 公理知 A1N1+BN1A1B 因此 AM+MN+BN 如图所示：A1NM方法提炼：方法提炼： 将最短路径问题转化为“线段和最小问题”交流体 会体验转化思 想教学内容与教师活动学生活 动设计意
11、图三、巩固训练三、巩固训练 （一）基础训练：1、最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要连接这两点，与直线的交点即为所求 如图所示，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个 点 C，使 CACB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个 点，则与该直线的交点即为所求 如图所示，点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个 点 C，使 CACB 最短，这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B，则 点 C
12、 是直线 l 与AB的交点学生独 立思考 解决问 题巩固所学知 识，增强学 生应用知识 的能力，渗 透转化思想.BA2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一 座桥 MN 和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）AB如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+桥 MN 和 PQ 在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线 段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧 先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到 A 点处、 都平移到 B 点处、MN 平移到 A 点处，PQ 平移到 B 点处
13、QNABMP. （二）变式训练：（二）变式训练： 如图，小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向 A 村 与 B 村供水(1)若要使厂部到 A，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ （三）综合训练：（三）综合训练： 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直 排(图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果， 站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你 帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图 a 图 b独立思 考，合 作交流.提炼方法， 为课本例题 奠
14、定基础.四、反思小结四、反思小结 布置作业布置作业 小结反思小结反思 （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？ 解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？ 你还有哪些收获？ 作业布置、课后延伸作业布置、课后延伸 必做题：课本 P93-15 题；选做题：生活中，你发现那些需 要用到本课知识解决的最短路径问题自由发 言,相 互借鉴. 自我评 价.总结回顾学 习内容，帮 助学生归纳 反思所学知 识及思想方 法.关注学生的 个体差异.板书设计：板书设计：教学反思：教学反思：13.413.4 最短路径问题最短路径问题两点的所有连线中，线段最短” 、 “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的 问题，我们称它们为最短路径问题 方法提炼：方法提炼： 将最短路径问题转化为“线段和最小问题”
