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1、班级班级姓名姓名学号学号- 47 -第七章第七章第七章第七章空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数1. 一边长为a的立方体放置在xoy面上， 底面中心在坐标原点， 底面的顶点在x轴和y轴上，求它的各顶点的坐标。解解 因为底面的对角线的长为a2, 所以立方体各顶点的坐标分别为) 0 , 0 ,22(a,) 0 , 0 ,22(a,) 0 ,22, 0 (a,) 0 ,22, 0 (a,) , 0 ,22(aa,) , 0 ,22(aa,) ,22, 0 (aa,) ,22, 0 (aa.2. 求点()5 , 3, 4 M到各坐标轴的距离。解解点M
2、到x轴的距离就是点(4, 3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345) 3(22=+=xd.点M到y轴的距离就是点(4, 3, 5)与点(0, 3, 0)之间的距离, 即415422=+=yd.点M到z轴的距离就是点(4, 3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5) 3(422=+=zd.3. 设, 3 , 2cbavcbau+=+=试用cba 、表示vu32 。解解2u u u u3v v v v=2(a a a ab b b b+2c c c c)3(a a a a+3b b b bc c c c)=2a a a a2b b b b+4c c c c+3a a a a
3、9b b b b+3c c c c=5a a a a11b b b b+7c c c c.班级姓名学号- 48 -4若4=r，它与轴u的夹角为3，求r在轴u上的投影。解解22143cos|jPr=r r r rr r r ru.5. 一向量的终点在)7, 1,2(B， 它在x轴，y轴和z轴上的投影依次为4、4和7，求此向量起点A的坐标。 解解 设点A的坐标为(x,y,z). 由已知得=774142zyx ,解得x=2,y=3,z=0. 点A的坐标为A(2, 3, 0).6. 设已知两点) 1,2,4(1M和)2,0,3(2M，计算21MM的模、方向余弦、方向角以及和21MM方向一致的单位向量。
4、解解 ) 1 , 2 , 1() 12 , 20 , 43 (21=MM; 21)2() 1(|22221=+=MM;21cos=,22cos=,21cos =;32=,43 =,3=.班级班级姓名姓名学号学号- 49 -7. 设kjia23=、kjib+=2 ，求:（1）baba 及（2）()baba232及（3）ba、 的夹角的余弦。解解 (1)a a a ab b b b=31+(1)2+(2)(1)=3,k k k kj j j ji i i ik k k kj j j ji i i i b b b ba a a a75121213+= =.(2)(2a a a a)3b b b b=
5、6a a a ab b b b= 63=18,a a a a2b b b b=2(a a a ab b b b)=2(5i i i i+j j j j+7k k k k)=10i i i i+2j j j j+14k k k k.(3)2123 6143 |) ,cos(=b b b ba a a ab b b ba a a ab b b ba a a a.8. 求4,3,4 =a在1,2,2=b 上的投影。解解2) 142324(31) 1 , 2 , 2()4 , 3 , 4(1221 |1 |jPr222=+= +=b b b ba a a ab b b bb b b bb b b ba
6、 a a ae e e ea a a aa a a abb.9. 已知)2, 1, 1 (1M、) 1,3,3(2M、)3, 1,3(3M，求与21MM、32MM同时垂直的单位向量。解解 ) 1 , 4 (2,2)1 , 13 , 13 (21=+=MM, ) 2 , 2 , 0 () 13 , 31 , 33 (32=MM. k k k kj j j ji i i ik k k kj j j ji i i i n n n n4462201423221= =MMMM,172161636|=+=n n n n,)223 (171)446 (1721k k k kj j j ji i i ik k
7、 k kj j j ji i i ie e e e=为所求向量.班级姓名学号- 50 -10. 已知, 3OB , 3kjkiOA+=+=求OAB的面积。解解根据向量积的几何意义, |OBOA表示以 OA和 OB为邻边的平行四边形的面积, 于是OAB的面积为 |21OBOAS=.因为 k k k kj j j ji i i ik k k kj j j ji i i i +=33 310301OBOA, 191) 3() 3(|223=+=OBOA,所以三角形OAB的面积为 1921|21=OBOAS.11. 一动点与两定点()1 , 3 , 2和()6 , 5 , 4等距离，求动点的轨迹方程。
8、解解 设动点为M(x,y,z), 依题意有(x2)2+(y3)2+(z1)2=(x4)2+(y5)2+(z6)2, 即4x+4y+10z63=0.12方程0242222=+zyxzyx表示什么曲面？解解 由已知方程得(x22x+1)+(y2+4y+4)+(z2+2z+1)=1+4+1,即2222)6() 1() 2() 1(=+zyx,所以此方程表示以(1, 2, 1)为球心, 以 6 为半径的球面.13. 将xoz坐标面上的双曲线369422=yx分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解解 双曲线绕x轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x29y29z2=36. 双曲线绕y轴旋转而得的
9、旋转曲面的方程为4x2+4z29y2=36.班级班级姓名姓名学号学号- 51 -14. 求椭圆抛物面222yxz+=与抛物柱面22xz=的交线关于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程。解解由 =+=22222 xzyxz，消去z得曲线关于xoy面的投影柱面方程为122=+yx，在xoy面上的投影曲线方程为 =+0122zyx15. 求与坐标原点O及点()4 , 3 , 2的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面的方程， 它表示怎样的曲面？解解设点()zyx,满足题意，则有：21)4() 3()2(222222 = +zyxzyx，化简整理得曲面的方程为：9116 34)3(322 2
10、2 =+zyx；它表示以34, 1,32为球心，以3292为半径的球面。16. 求旋转抛物面)40( 22+=zyxz在三个坐标面上的投影。解解 令z=4 得x2+y2=4, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在xOy面上的投影为x2+y24.令x=0 得z=y2, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在yOz面上的投影为y2z4. 令y=0 得z=x2, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在zOx面上的投影为x2z4.班级姓名学号- 52 -17. 求过点()1, 0 , 3且与平面012573=+zyx平行的平面方程。解解所求平面的法线向量为n n n n=(3, 7, 5),
11、所求平面的方程为 3(x3)7(y0)+5(z+1)=0, 即 3x7y+5z4=0.18.求过点()1, 1 , 1 、()2 , 2, 2 和()2 , 1, 1的平面方程。解解n n n n1=(1, 1, 2)(1, 1, 1)=(0, 2, 3),n n n n2=(1, 1, 2)(2, 2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为k k k kj j j ji i i ik k k kj j j ji i i i n n n nn n n nn n n n693 01332021+=,所求平面的方程为3(x1)+9(y1)+6(z+1)=0, 即x3y2z=0.19.一
12、平面过点) 1,0, 1 (且平行于向量1, 1,2=a，0, 1, 1 =b , 试求此平面方程。解解 所求平面的法线向量可取为k k k kj j j ji i i ik k k kj j j ji i i i b b b ba a a an n n n3 011112+= =,所求平面的方程为(x1)+(y0)3(z+1)=0, 即x+y3z4=0.20 求与平面043=+zyx平行，且在z轴上截距等于2的平面方程。解解由题意，所求平面过z轴上的点)2,0,0(，且所求平面的法线向量为n n n n=(3,1, -1),所求平面的方程为04)2()0()0( 3=+zyx, 即023=+
13、zyx.班级班级姓名姓名学号学号- 53 -21试确定k的值，使平面0=+kzykx、0=+kkzkyx：（1）互相垂直；（2）互相平行；（3）重合。 解解由题意，n n n n1=(k k k k, 1, 1) ,n n n n2=(1,k k k k,k k k k) , 则：（1）两平面互相垂直003, 11 , 1 ,21=kkkkknn，（2）两平面互相平行1111 12=kkkkk，（3）两平面重合111 1=kkk kkk.22求平面0522=+zyx与xoy坐标面的夹角的余弦。解解 此平面的法线向量为n n n n=(2, 2, 1).此平面与yOz面的夹角的余弦为32 1)
14、2(22 | |) ,cos(cos122= +=i i i in n n ni i i in n n ni i i in n n n;此平面与zOx面的夹角的余弦为32 1) 2(22 | |) ,cos(cos122= +=j j j jn n n nj j j jn n n nj j j jn n n n;此平面与xOy面的夹角的余弦为31 1) 2(21 | |) ,cos(cos122= +=k k k kn n n nk k k kn n n nk k k kn n n n.23求点) 1,2, 1 (到平面01022=+zyx的距离。解解点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z1
15、0=0 的距离为1 221|1012221|222= +=d.班级姓名学号- 54 -24 求过点)4,2,0(且与两平面12 =+zx和23 =zy平行的直线方程。解解 因为两平面的法线向量n n n n1=(1, 0, 2)与n n n n2=(0, 1, 3)不平行, 所以两平面相交于一直线,此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s s s s, 即k k k kj j j ji i i ik k k kj j j ji i i i s s s s+= =32 310201.所求直线的方程为14 32 2=zyx.25 求过点)2, 1,3(且通过直线123 54zyx=+=的平面方程。解解 所求平面的法线向量与直线123 54zyx=+=的方向向量s s s s1=
