第二章 解线性方程组的直接法

《第二章 解线性方程组的直接法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 解线性方程组的直接法（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-1第二章 解线性方程组的直接法第二章 解线性方程组的直接法? Gauss 消去法消去法? 向量与矩阵范数向量与矩阵范数? 方程组性态及误差分析方程组性态及误差分析2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-2在工程技术、自然科学和社会科学中，常遇到如 电学中网络问题、用最小二乘法求实验数据的拟合 问题，工程中三次样条函数的插值问题，经济运行 中的投入产出问题以及大地测量、机械与建筑结构 的设计计算问题等等，最终都归结为求解线性方程 组的数学问题。因此，在工程技术、自然科学和社会科学中，常遇到如 电学中网

2、络问题、用最小二乘法求实验数据的拟合 问题，工程中三次样条函数的插值问题，经济运行 中的投入产出问题以及大地测量、机械与建筑结构 的设计计算问题等等，最终都归结为求解线性方程 组的数学问题。因此，线性方程组的求解对于解决 实际问题是极其重要的线性方程组的求解对于解决 实际问题是极其重要的。2.1 引 言引 言2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-311112211211222221122.,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb+= += +=1111121212222212.,. .nnnnnnnnxbaaaaaaxbAxb

3、aaaxb = ?其中其中Ax = b常见常见 n 阶线性方程组阶线性方程组由由Cramer法则知，当法则知，当detA0时，方程组有惟一解！时，方程组有惟一解！2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-4线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法：直接法直接法：适用于以：适用于以稠密矩阵稠密矩阵为系数矩阵的为系数矩阵的中低阶中低阶 线性方程组线性方程组间接法间接法：适用于以：适用于以稀疏矩阵稀疏矩阵为系数矩阵的为系数矩阵的高阶高阶 线性方程组线性方程组2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-52.2 高斯消去法（直接法）高斯消去法（直接法

4、）基本思想基本思想：12312312231 4254 27xxx xxx xx+= += +=例例2.1 解线性方程组解线性方程组用初等行变换将方程组转化为同解的 上三角方程组，回代求解用初等行变换将方程组转化为同解的 上三角方程组，回代求解2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-6解：解：21 3 1 425 4120 7 线性方程组的增广矩阵线性方程组的增广矩阵21312122131 412 53 13 22020rrrr ? 3258213104127420880rr ? ?原线性方程组原线性方程组12323323142742 88xxxxxx += =123

5、9 1 6x x x= = = 回代回代2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-7（2）回代过程：从上三角方程组的最后一个方程开始，依 次回代解出所有未知量）回代过程：从上三角方程组的最后一个方程开始，依 次回代解出所有未知量（1）消元过程：）消元过程：1、Gauss 消去法消去法利用初等行变换将方程组转化为同解的上 三角方程组，即利用初等行变换将方程组转化为同解的上 三角方程组，即2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-8P21 例例2.2.2 解线性方程组（使用解线性方程组（使用121252.8852.904.5737.2938.04

6、.04002 xxxx+= =解：解：4 位浮点数）位浮点数）2121212284.5732286.50.00720rrrrrr=得得2120900121000,x= 解得解得21.001x 10.002052.9052.8852.1.00152.9015.000.002093x= 注：注： 准确解准确解1210.00, 1.000.x x= =误差放大了误差放大了0.002052.8826440=倍！倍！2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-9定理定理2.1 高斯消去法可行的充要条件是方程组高斯消去法可行的充要条件是方程组系数矩阵的顺序主子式全不为零系数矩阵的顺

7、序主子式全不为零.1111,1,2,mmmmmaa Dmn aa=? ? ?的的 m 阶顺序主子式矩阵阶顺序主子式矩阵()ijn nAa=注：注：高斯消去法的可行性？高斯消去法的可行性？2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-10定理定理2.2 斯消去法可行，若方程组的 斯消去法可行，若方程组的系数矩阵严格对角占优系数矩阵严格对角占优， 且关于舍入误差增长是稳定的， 且关于舍入误差增长是稳定的.定义定义2.1满足若矩阵满足若矩阵()ijn nAa=则称则称 A 对角占优对角占优，且至少有一个不等式严格成立，且至少有一个不等式严格成立，1,1,2, .niiij jj

8、 iaain=?则称则称 A 严格对角占优严格对角占优.若矩阵若矩阵 A 满足满足1,1,2, .niiij jj iaain=?则高则高2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-11用高斯消去法求解线性方程组时，在消元过程 中若用高斯消去法求解线性方程组时，在消元过程 中若主元主元（主对角线元素主对角线元素）为零，高斯消去法将 无法进行；此外，主元的绝对值很小时，用其作 除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入 误差的扩散，也将严重影响计算结果的精度）为零，高斯消去法将 无法进行；此外，主元的绝对值很小时，用其作 除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入 误差的

9、扩散，也将严重影响计算结果的精度2、高斯主元消去法、高斯主元消去法主元素消去法（改进的主元素消去法（改进的Gauss 消去法）消去法）！基本思想：基本思想：每次消元之前在系数矩阵中按一定的范 围每次消元之前在系数矩阵中按一定的范 围选取绝对值最大或较大的元素作为主元素选取绝对值最大或较大的元素作为主元素，以便 减少舍入误差的影响，以便 减少舍入误差的影响2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-12列主元法列主元法 行主元法 按比例主元法 全主元法行主元法 按比例主元法 全主元法Gauss 列主元消去法列主元消去法：在待消元的所在列中选 择：在待消元的所在列中选 择绝

10、对值最大的元素绝对值最大的元素作为主元，通过方程的行 交换，置主元素于对角线位置再进行消元作为主元，通过方程的行 交换，置主元素于对角线位置再进行消元根据主元选取的范围可分为：根据主元选取的范围可分为：2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-13P22 例例2.2.312124.5730.002052.8852.90 7.2938.44xx xx+= =用用Gauss 列主元消去法解线性方程组列主元消去法解线性方程组解：解：21rr得解得得解得21.000x 11.00380 4.447.29 .510 0073.x+=12127.2938.44 0.002052.

11、8852.4.5 03 97 xx xx= +=（使用（使用4 位浮点数）位浮点数）21210.0020,4.50.000347rrrrP53 Ex12013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-142.4 向量与矩阵范数向量与矩阵范数为了研究线性方程组数值解的误差分析、性态以及迭代法的收敛性分析，需要对向量及矩阵方程组为了研究线性方程组数值解的误差分析、性态以及迭代法的收敛性分析，需要对向量及矩阵方程组的的大小大小引进某种度量引进某种度量范数范数2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-151、向量范数、向量范数定义定义2.4.1 设向量设向量

12、T 12(,),n nx xx=R?xx是对应于是对应于 x 的实数， 若对任意的实数， 若对任意,nRRx yx满足：满足：(1)(2)(3)（非负性非负性）0,x0;=x当且仅当当且仅当= 0x时，（时，（正齐次性正齐次性）;=xx（三角不等式三角不等式）,+xyxy则称则称x为向量为向量 x 的的范数范数（模模）2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-16常用的向量范数：常用的向量范数：常用的向量范数：常用的向量范数：注：注：注：注：1 1- -范数：范数：范数：范数：2 2- -范数：范数：范数：范数： - -范数：范数：范数：范数：121 1;nin ix

13、xxx=+?x1211maxmax,;ini ni nxxxx =?x1 22222 122 1.nin ixxxx=+?xp p- -范数范数范数范数：112 1.npppppp inp ixxxx=+?x(1)(2)不需指明何种范数时，常用泛指范数不需指明何种范数时，常用泛指范数i2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-17例例2.11 设设 x =(1, 0, -1, 2)T，计算，计算解：解：110124;=+ +=x2222 210( 1)26.=+ +=x()max 1,0,1 ,22;=x12,.xxx2013-11-10SCHOOL OF MATHE

14、MATICS31-18定理定理定理定理2.4.12.4.1任意向量的范数是等价的，任意向量的范数是等价的，任意向量的范数是等价的，任意向量的范数是等价的，即即即即,0. xxx定义定义定义定义2.4.22.4.2设设设设为一向量序列，为一向量序列，为一向量序列，为一向量序列，定理定理定理定理2.4.22.4.2( )1knk= Rx*,n Rx( )*lim0,kk=xx若若若若则称则称则称则称收敛于收敛于收敛于收敛于( )1kk=x*,x( )*li.mkk=xx记作：记作：记作：记作：设设设设()()TT( )( )( )( )* 1212,kkkk nnxxxx xx=?xx( )*(

15、)limlim,1,2, .kk ikkxxin =?* ixx则则则则2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-192、矩阵范数、矩阵范数定义定义2.4.3 设矩阵设矩阵(),n n ijn na =RAA是对应于是对应于A 的实数， 若对任意的实数， 若对任意,n nRRA BA满足：（满足：（非负性非负性）0,A0;=A当且仅当当且仅当=0A时，（时，（正齐次性正齐次性）;=AA（三角不等式三角不等式）;+ABAB则称则称A为矩阵为矩阵A 的的范数范数（模模）(1)(2)(3)(4),ABAB2013-11-10SCHOOL OF MATHEMATICS31-20常用的矩阵范数：常用的矩阵范数：常用的矩阵范数：常用的矩阵范数：注：注：注：注：列范数：列范数：列范数：列范数：行范数：行范数：