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1、第四章第四章 齿厚偏差算法及齿厚偏差算法及Visual Basic编程编程4.14.1 齿厚偏差计算过程齿厚偏差计算过程在三坐标测量机上采用连续扫面法在齿轮轮廓上进行扫描测量，得到一组数据，即为以齿轮圆心为坐标原点时齿轮齿廓上各点坐标。根据已经测得的坐标值，在坐标系中算出齿轮齿廓与分度圆的交点，由单个齿上两侧的交点计算出对应的弧长，即为实际测量得到的齿厚。再根据齿轮的模数和齿数算出理论齿厚。进而求得单个齿的齿厚偏差。依次求出各个齿的齿厚偏差，并找出最大、最小偏差。根据齿轮精度等级求出齿厚的上、下极限偏差，若最大、最小偏差在极限范围内，则此齿轮侧隙满足条件。4.24.2 算法算法4.2.1 求圆
2、心假设齿轮齿数为，根据坐标机上测量得到的数据找出每个齿上最接近齿z顶处的点，即取个点。根据取得的点求齿顶圆圆心，即齿轮圆心，有如下两z种方法：三点求圆心将取得的点分成组（结果取整） ，每组的 3 点尽可能分布整个圆周，可3/z以使结果更精确。每组的 3 点求出一个圆心，再根据每组取得的圆心进行平均值计算，从而得到齿轮圆心。令 3 点坐标为、，圆心为，半径为。圆) 1, 1(yx)2, 2(yx)3, 3(yx)0, 0(yxR的方程为，因此有方程组：222)0()0(Ryyxx(4-1)222)01()01(Ryyxx(4-2)222)02()02(Ryyxx(4-3)222)03()03(R
3、yyxx得(4-4)00) 12(2210) 12(2212222yyyyyxxxxx得(4-5)00)31(2130)31(2132222yyyyyxxxxx*得)31(xx 00) 12)(31(2)21)(31(0) 12)(31(2)21)(31(2222yyyxxyyxxxxxxxxxxx(4-6)*得) 12(xx 00)31)(12(2)13)(12(0)31)(12(2)13)(12(2222yyyxxyyxxxxxxxxxxx(4-7)(4-6)(4-7)得00)31)(12() 12)(31(2)13)(12()21)(31()13)(12()21)(31(22222222
4、 yyyxxyyxxyyxxyyxxxxxxxxxx)12)(31()31)(12(2)13)(12()21)(31()13)(12()21)(31(022222222yyxxyyxxyyxxyyxxxxxxxxxxy将代入方程(4-4)，得0y)21(20) 12(2)21()21(02222xxyyyyyxxx最终得到圆心坐标即为。)0, 0(yx最小二乘法最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。在根据未知数列出求得的数据与实际数据之间的平方
5、和函数后，应用高数中偏导数求极值的原理，将函数对未知数变量进行求偏导。令偏导数为 0 后解方程，求出未知变量，即可得到最佳函数12。最小二乘法通常用于曲线拟合，拟合圆曲线的公式推导如下：圆的方程：222)()(RByAx2222222BByyAAxxR令22222RBAcBbAa可得圆曲线方程的另一个形式：(4-8)022cbyaxyx只要求出参数就可以求得圆心坐标的参数：cba,cbaRbBaA4212222取得的个点坐标为 ，各个点到圆心的距离为：z),(iiyx)3 , 2 , 1 (ziLid222)()(ByAxdiii点到圆边缘的距离的平方与半径平方的差为：),(iiyxcbyax
6、yxRByAxRdiiiiiiii2222222)()(令为的平方和：),(cbaQi 2222)(),(cbyaxyxcbaQiiiii求参数使得的值取得最小值。cba,),(cbaQ解：平方差大于 0，因此函数存在大于等于 0 的极小值，极大值为无穷大。),(cbaQ对求偏导，令偏导数等于 0，得到极值点，比较所有极值点的函),(cbaQcba,数值即可得到最小值。(4-9)0)(2),(22 iiiiixcbyaxyxacbaQ(4-10)0)(2),(22 iiiiiycbyaxyxbcbaQ(4-11)0)(2),(22cbyaxyxccbaQiiii解这个方程组：先消去c(4-9)
7、*(4-11)*得：zix0)()(2222iiiiiiiiiixcbyaxyxxcbyaxyxz0)()(2222iiiiiiiiiixbyaxyxxbyaxyxz0)()()(22232iiiiiiiiiiiiixyxyxzxzbyxyxzaxxxz(4-12)(4-9)*(4-11)*得：ziy0)()(x2222 iiiiiiiiiiycbyaxyxycbyaxyz0)()(2222iiiiiiiiiiybyaxyxybyaxyxz0)()()(22322iiiiiiiiiiiiiyyxyzyxzbyyyzayxyxz(4-13)令)(2iiixxxzC)(iiiiyxyxzD iii
8、iiixyxyxzxzE)(2223)(2iiiyyyzG iiiiiiyyxyzyxzH)(2232代入(4-12)、(4-13)可解得：0EDbCa0HGbDa2DCGEGHDaGCDEDHCb2将代入(4-11)可解得：ba,zybxayxciiii)(22从而得到圆心的估计拟合值：)0, 0(yx2020bByaAx相同的一组数据，在VB中分别应用上述两种方法求圆心，事实证明最小二乘法的精度更高，而且在取点过程中没有条件限制，简单易行，因此在编程中选用最小二乘法求圆心。4.2.2 求齿轮模数和分度圆半径求出齿轮圆心后，依次求出取得的齿顶处的点的半径，。则对应计算得到的模数为：22)0(
9、)0(yyxxRiiai)3 , 2 , 1 (ziL22zRmai izmmi由于不同模数的齿轮要有不同模数的刀具去制造，为了便于设计和加工，渐开线齿轮应采用如下表 1 所示的标准模数系列13。表 1.标准模数系列 （mm） 第一系 列1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50 第二系 列1.75 2.25 2.75 （3.25） 3.5 （3.75） 4.5 5.5 （6.5） 7 9 （11） 14 18 22 28 36 45因此，得到的值还需要进行标准化：m若，则28. 00 m20)5 . 020(mIntm若，则9 . 0
10、28. 0 m10)5 . 010(mIntm若，则8 . 29 . 0 m4)5 . 04(mIntm若，则518 . 2 m)5 . 0(mIntm由此得到齿轮模数。m计算出模数后即可求出分度圆半径2/mzr 4.2.3 求齿轮齿廓与分度圆交点为了计算每个轮齿的齿厚，需要先求出每个轮齿两侧与分度圆相交的交点。根据求得的圆心坐标，依次求出齿轮齿廓上各个点的半径，。为了便于22)0()0(yyxxRiii)(3 , 2 , 1 (是齿轮齿廓是的点数nniL以后的齿厚偏差计算，在找出半径大于分度圆半径的最小点、半径小于分度圆半径的最大点过程中，从取得的第一个齿廓上的点（记为）开始依次循环) 1
11、(T（，1） ，比较齿廓上点的半径和分度圆半径 的关系，得到两组) 1 (Tn) 1 (Tr分度圆附近的点数据：（半径值不断增加，此处记为单个轮齿上1iiRrR升侧的点） 、（半径值不断减小，此处记为单个轮齿上降侧的点） ，1iiRrR其中 是分度圆半径。根据单个齿两侧的点拟合曲线，与分度圆方程联立，求r出交点。令单个轮齿齿廓同一侧上半径小于分度圆半径的最大点坐标为、半) 1, 1(yx径大于分度圆半径的最小点坐标为。交点可以通过两点所在直线的方程)2, 2(yx与分度圆所在方程联立求解，也可以用分度圆附近的点拟合求渐开线求解，推导过程分别如下：根据直线方程求交点：分度圆方程：222)0()0
12、(ryyxx(4-14)000020222222ryxyyyxxx点、所在直线方程：) 1, 1(yx)2, 2(yx) 1(12121xxxxyyyy令1212 xxyyk直线方程则为：) 1(1xxkyy (4-15)1) 1(yxxky将(4-15)代入(4-14)得：000) 11(02) 11(0222222ryxykxkxyykxkxxxx000102012) 11() 12020212()1 (2222222ryxyyykxykxxxkxkykyxk(4-16)令)1 (2kA) 12020212(2xkxkykyB222200102012) 11(ryxyyykxykxC图 2
13、.渐开线生成图代入(4-16)可得：(4-17)02cBxAx直线与圆方程必有两个交点，所以方程(4-17)必有两个解：AACBBX2412AACBBX2422因为交点和已知、两点必须是在同一个齿侧分度圆的同侧，) 1, 1(yx)2, 2(yx所以比较与、的关系，若在、之间，则交点横坐标为；1X1x2x1X1x2x1XX 否则交点横坐标。将求得的横坐标值代入(4-15)得交点纵坐标为：2XX 。由此可得根据直线拟合得到齿1) 1(yxXkY廓与分度圆的交点。),(YX渐开线求交点：渐开线形成图14如图 2 所示：AC为一条理论渐开线，K为其上的一点，半径为的圆是渐br开线的基圆，BK所在直线
14、沿基圆做纯滚动，称为渐开线的发生线。渐开线上任一一点K的向径角和向径分别为：kkr(4-18)kkk tan(4-19)15 kbkrrcos/由渐开线方程知，知道其上一点的半径即可算出其位置。已经找到分度圆附近的点，因为对于一条渐开线起点A的位置是固定的，所以可以根据分度圆附近的点求交点。为了提高精度，可以采用多个点拟合求平均。现用小于分度圆半径的最大半径的点求解。) 1, 1(yx点对应半径) 1, 1(yx22 1)01()01(yyxxr将代入公式(4-18) (4-19)即可求得对应的向径角：1r)/arccos()/(tan(arccos11rrrrbbk分度圆半径已求得，将其代入公式(4-18) (4-19)即可求得对应的向径角：)/arccos()/(tan(arccosrrrrbbr rr 1rk因此两点相对圆心的夹角，从而找到分度圆的交点。kr4.2.4 计算齿厚偏差齿厚是一个轮齿在分度圆周上的弧长。根据同一齿两侧与分度圆的交点，求出两点间相对圆心的夹角，分度圆半径已知，即可求出对应轮齿的齿厚。根据直线拟合求交点得到的交点坐标是直角坐标值，而渐开线
