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1、1一、导数单调性、极值、最值的直接应用1.（切线）设函数axxf2)(.（1）当1a时，求函数)()(xxfxg在区间 1 , 0上的最小值；（2）当0a时，曲线)(xfy 在点)(,(111axxfxP处的切线为l，l与x轴交于点)0 ,(2xA求证：axx21.(2)证明：曲线)(xfy 在点)2 ,(2 11axxP处的切线斜率112)(xxfk曲线)(xfy 在点P处的切线方程为)(2)2(112 1xxxaxy.令0y，得12 1 22xaxx ，12 1 1 12 1 1222xxaxxaxxxax 1，0212 1 xxa，即12xx .又11 22xax ，axax xax x
2、axx111112 1 2222222所以axx21.2.（2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR当0a 时，求曲线( )(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当2 3a 时，求函数( )f x的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及 分类讨论的思想方法。.3) 1 ( )2()( )(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3)1 (, 1 ()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 .42)2
3、()( 22xeaaxaxxfw.w.w.k.s.5.u.c.o.m . 2232. 220)( aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论：a若32，则a22a.当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表： xa2，a222aa，2a ，2a+00+ 极大值极小值 .)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf .3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数a若32，则a22a，当x变化时，)()( xfxf，的变
4、化情况如下表： x2a，2aaa22 ，a2，a2+00+ 极大值极小值 内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf .)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数3.（最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=lnxa x.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1,e上的最小值为，求a的值.3 2解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,)，且 f (x)2xa x .1 x2a xa0，f (x)0，
5、故f(x)在(0,)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f (x)2xa x ， 若a1，则xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为增函数，f(x)minf(1)a，a (舍去).3 23 2 若ae，则xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为减函数，f(x)minf(e)1a e，a(舍去).3 22e若e0，f(x)在(a,e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1a.3 2e综上可知：a.e4.（最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2xaxxxf，其中aR.（）若2x 是)(xf的极值点，求a的值；（）求)(xf的单调区间；（
6、）若)(xf在0,)上的最大值是0，求a的取值范围.解：（）(1)( ),( 1,)1xaaxfxxx .依题意，令(2)0f ，解得 1 3a . 经检验，1 3a 时，符合题意. （）解： 当0a时，( )1xfxx.故)(xf的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0 , 1(. 当0a 时，令( )0fx，得10x ，或211xa.当10 a时，( )f x与( )fx的情况如下：x1( 1,)x1x12( ,)x x2x2(,)x ( )fx003( )f x1()f x2()f x所以，( )f x的单调增区间是1(0,1)a；单调减区间是)0 , 1(和1(1,)a.当1a时，)(
7、xf的单调减区间是), 1(. 当1a 时，210x ，( )f x与( )fx的情况如下：x2( 1,)x2x21(,)xx1x1( ,)x ( )fx00( )f x2()f x1()f x所以，( )f x的单调增区间是1(1,0)a；单调减区间是1( 1,1)a和(0,). 当0a时，)(xf的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0 , 1(.综上，当0a 时，)(xf的增区间是(0,)，减区间是)0 , 1(；当10 a时，( )f x的增区间是1(0,1)a，减区间是)0 , 1(和1(1,)a；当1a时，)(xf的减区间是), 1(；当1a 时，( )f x的增区间是1(1,0)
8、a；减区间是1( 1,1)a和(0,).（）由（）知 0a 时，)(xf在(0,)上单调递增，由0)0(f，知不合题意.当10 a时，)(xf在(0,)的最大值是1(1)fa，由1(1)(0)0ffa，知不合题意.当1a时，)(xf在(0,)单调递减，可得)(xf在0,)上的最大值是0)0(f，符合题意. 所以，)(xf在0,)上的最大值是0时，a的取值范围是1,). 5.（2010山东文21，单调性）已知函数1( )ln1()af xxaxaRx当1a 时，求曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程；当1 2a 时，讨论( )f x的单调性.解：ln20xy因为 11ln)(xaax
9、xxf ，所以 211)( xaaxxf221 xaxax ，), 0( x，令 ,1)(2axaxxg), 0( x46.(是一道设计巧妙的好题，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想， 联系紧密)已知函数( )ln , ( ).xf xx g xe若函数 (x) = f (x)1 1x x+ -，求函数 (x)的单调区间；设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切解：（） 1( )1xxf xx11lnxxx， 22211 121 xxx
10、 xxx0x 且1x ， 0x函数( )x的单调递增区间为 ，和11 , 0（）1( )fxx ，0 01()fxx， 切线l的方程为00 01ln()yxxxx, 即0 01ln1yxxx, 设直线l与曲线( )yg x相切于点1 1( ,)xx e，( )xg xe，101xex，10lnxx ,.0ln 1 01()xg xex直线l也为0 0011lnyxxxx， 即0000ln11xyxxxx， 由得 0 0 00ln1ln1xxxx ，0 0 01ln1xxx下证：在区间（1,+）上0x存在且唯一.由（）可知，( )x11lnxxx在区间1,+（）上递增又12( )ln011eee
11、ee，22 22 2213()ln011eeeeee，结合零点存在性定理，说明方程( )0x必在区间2( ,)e e上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x，故结论成立7.（最值应用，转换变量）设函数221( )(2)ln(0)axf xaxax (1)讨论函数( )f x在定义域内的单调性；(2)当( 3, 2)a 时，任意12,1,3x x ，12(ln3)2ln3 |()()|maf xf x恒成立，求实数m的取值范围解：221( )2afxaxx222(2)1axa x x2(1)(21)axx x 5当2a 时，11 2a ，增区间为1 1(, )2a ，减区间为1(0,)a ，1(
12、,)2 当2a 时，11 2a ，减区间为(0,)当20a 时，11 2a ，增区间为11( ,)2a ，减区间为1(0, )2，1(,)a 由知，当( 3, 2)a 时，( )f x在1,3上单调递减，12,1,3x x ，12|()()|f xf x(1)(3)ff1(12 )(2)ln36 3aaa ，即12|()()|f xf x24(2)ln33aa 12(ln3)2ln3 |()()|maf xf x恒成立，(ln3)2ln3ma24(2)ln33aa ，即243maa ，又0a ，243ma ( 3, 2)a ，132384339a ，m13 3 8.(2010山东，两边分求，最
13、小值与最大值)已知函数1( )ln1af xxaxx()aR.当1 2a 时，讨论( )f x的单调性；设2( )24.g xxbx当1 4a 时，若对任意1(0,2)x ，存在21,2x ，使12()()f xg x，求实数b取值范围.1( )ln1(0)af xxaxxx ，222l11( )(0)aaxxafxaxxxx令2( )1(0)h xaxxa x 当0a 时，( )1(0)h xxx ，当(0,1), ( )0,( )0xh xfx,函数( )f x单调递减；当 (1,), ( )0,( )0xh xfx，函数( )f x单调递增.当0a 时，由( )0fx，即210axxa ，解得1211,1xxa .当1 2a 时12xx，( )0h x 恒成立，此时( )0fx，函数( )f x单调递减；当102a 时，1110a ,(0,1)x时( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递减； 1(1,1)xa 时，( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递增； 1(1,)xa 时，( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递减.当0a 时110a ，当(0,1), ( )0,( )0xh xfx
