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1、精品教程系列-NT-几何-燕尾与蝴蝶 燕尾定理与蝴蝶定理燕尾定理与蝴蝶定理一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理：一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理：（1）同高三角形面积的比等于底的比；同高三角形面积的比等于底的比；如右图中：SABD : SACD = BD : CD推论推论 1：平行线间同底的三角形面积相等。：平行线间同底的三角形面积相等。如图：SABC = SADB = SAEB（因为它们同底等高）推论推论 2：长方形中以一条边为底，顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。：长方形中以一条边为底，顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。如图：SABC = SBEC = SBFC=
2、SBDC=SABDC1 2（因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除 2）推论推论 3：梯形中的蝴蝶三角形：梯形中的蝴蝶三角形梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。如图：（蝴蝶三角形）BOCAODSS（因为，这两个三角形同时减去就得ADCBDCSSDOCS到了）BOCAODSSABCDADBCE精品教程系列-NT-几何-燕尾与蝴蝶 AFBDCE推论推论 4：鸟头定理：鸟头定理如右图所示则有：如右图所示则有：ADEABCSAD AE SAB AC证明：证明：连结 BE，则有：，ADEABESAD SABABEABCSAE SAC两个式子相乘得到：AD
3、EABEABEABCSSAD AE SSABAC即：ADEABCSAD AE SAB AC推论推论 5：燕尾定理：燕尾定理：如右两图所示，均有：ABEACESBD SCD（因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于）BD CD2、正方形面积等于对角线的平方除以正方形面积等于对角线的平方除以 2.如图： SABDC=SAEFC=AC21 21 2（很明显，大正方形面积是小正方形的两倍，因为大正方形有 4 个直角三角形，而小的只有 2 个）ABCDEABCDEABCDE精品教程系列-NT-几何-燕尾与蝴蝶 三、平行线分线段成比例：三、平行线分线段成比例：“金字塔金字塔”和和“沙漏沙漏”， ，如右两
4、图所示：如果如果 AB 与与 CD 平行，平行，那么：那么：CDAB ODOB OCOAOAOB ACBD222 AOBCODSOAOBAB SOCODCD推论：配合沙漏型的规律，只要知道了梯形被对角线分成的四个三角形中两个不同的三角形的面积，就可以知道每一个三角形的面积，进而知道总面积。如图：四、交叉相乘：四、交叉相乘：如右图所示，如右图所示，对任意凸四边形对任意凸四边形 ABCD 有：有：（交叉相乘）（交叉相乘）CODAOBBOCAODSSSS证明：如图，过点 B，D 作 AC 的高 BE，DF则有：1 2AODSDF AO1 2BOCSBE OC1 2CODSDF OC1 2AOBSBE
5、 AO所以：111 224AODBOCSSDF AOBE OCDF AO BE OC111 224AOBCODSSBE AODF OCDF AO BE OCOCDABODCABOADCBOADCBEF精品教程系列-NT-几何-燕尾与蝴蝶 所以：CODAOBBOCAODSSSS例例 1 三角形 ABC 的面积为 36 平方厘米，D 上分别为 BC、AC 边上的三等分点(如图)。则三角形 ADE的面积为_平方厘米。例例 2 如图中 A、B 两点分别是长方形长和宽的中点，那么阴影部分的面积是长方形面积的_(填几分之几)。例例 3 如图，ABC中，CD=3AD，EC=3BE，那ABO的面积占ABC面积的_分之_；例例 4 如图，正六边形的面积为 6，那么阴影部分的面积是多少？EACBDOB D CAEBA
