高考数学教案必胜秘诀(9)立体几何

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1、立体几何立体几何1 1、三个公理和三条推论、三个公理和三条推论： （1）公理公理 1 1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面 内。这是判断直线在平面内的常用方法判断直线在平面内的常用方法。 （2）公理公理 2 2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点 都在同一条直线上。这是判断几点共线判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点三条直线共点 （证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。 （3）公理公理 3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论 1：经过直线和直线 外一点有且只有一个平面。推论 2：经过两条相交

2、直线有且只有一个平面。推论 3：经过两 条平行直线有且只有一个平面。公理 3 和三个推论是确定平面的依据确定平面的依据。如（如（1 1）在空间四点 中，三点共线是四点共面的_条件（答：充分非必要） ；（2 2）给出命题：若 Al，A，Bl ，B，则 l ；若 A，A，B，B，则 AB；若 l ，Al，则 A 若 A、B、C，A、B、C，且 A、B、C 不共线，则 与 重合。上述命题中，真命题是_（答：） ；（3 3）长方体中 ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段 BD，A1C1上各有一点 P、Q，在 PQ 上有一点 M，且 PM=MQ，则 M 点的轨迹图形的面积为_（答：2

3、4） 2 2、直观图的画法（斜二侧画法规则）、直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使，所确定的平面表示水平平面。 （2）已知图形中平行于轴和轴的线0135x o y x o y xz 段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长轴的线段平行性不变，但在直观图中其长y 度为原来的一半度为原来的一半。如（如（1 1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形， 则原来图形的形状是（ ） （答：A）（ 2 2）已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_（答：ABCaABCA B C ）26 16a3 3、空间直线的位置关系

4、、空间直线的位置关系：（1）相交直线有且只有一个公共点。 （2）平行直线 在同一平面内，没有公共点。 （3）异面直线不在同一平面内，也没有公共点。如（。如（1 1） 空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四边上的中点，则直线 EG 和 FH 的位置关系 _（答：相交） ；（2 2）给出下列四个命题：异面直线是指空间既不平行又不相交的直 线；两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；两异面直线，ba,abba,如果平面，那么不垂直于平面；两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条ab 平行直线 。其中正确的命题是_（答：） 4 4、异面直线的判定、异面直线的判定：反证法。 如（如（1

5、1） “、为异面直线”是指：，但 不平行于；面 ，面 且 ab；面 ，面 且 ；面 ，b面 ；不存在平面 ，能使面 且面 成立。 上述结论中，正确的是_（答：） ；（2 2）在空间四边形 ABCD 中，M、N 分别是 AB、CD 的中点，设 BC+AD=2a，则 MN 与 a 的大小关系是_（答：MNa） ；（3 3）若 E、F、G、H 顺次为空间四边形 ABCD 四条边 AB、BC、CD、DA 的中点，且 EG=3，FH=4，则 AC2+BD2= _（答：50） ；（4 4）如果、是异面直线，P 是不在、上的 任意一点，下列四个结论：过点 P 一定可以作直线 与、都相交； 过点 P 一定可l

6、 以作直线 与、都垂直；过点 P 一定可以作平面 与、都平行； 过点 P 一定l 可以作直线 与、都平行。其中正确的结论是_（答：） ；（5 5）如果两条异面直线lFDCBAED1C1B1A1称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_（答：24） ；（6 6）已知平面 求证：b、c 是异面直线,/,accAabba且平面5 5、异面直线所成角、异面直线所成角的求法的求法：（1）范围范围：；（2）求法求法：计算异面直线所成(0,2角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体， 如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交

7、两直 线的夹角。如（如（1 1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线ABCDP EPC与所成的角的余弦值等于_（答：） ；（2 2）在正方体 AC1中，M 是侧棱 DD1的BEPA33中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是棱 A1B1上的一点，则 OP 与 AM 所成的角的大小为 _（答：90） ；（3 3）已知异面直线 a、b 所成的角为 50，P 为空间一点，则过 P 且与 a、b 所成的角都是 30的直线有且仅有_条（答：2） ；（4 4）若异面直线所成的角为, a b，且直线，则异面直线所成角的范围是_（答：） ； 3ca, b c,6 2 6 6、异面直线的距离的概念、

8、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两 条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线 有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（如（1 1）ABCD 是矩形，沿 对角线 AC 把 ADC 折起，使 ADBC，求证：BD 是异面直线 AD 与 BC 的公垂线；（2 2）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，EF 是异面 直线 AC 与 A1D 的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中， 与 EF 平行的直线有_条（答：1） ； 7 7、两直线平行的判定、两直线平行的判定：（1）公理公理 4 4：平行于同一直线的两直线 互相平

9、行；（2）线面平行的性质线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平 面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质面面平行的性质：如果两个平行平面同时 与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于 同一个平面，那么这两条直线平行。 8 8、两直线垂直的判定、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。 9 9、直线与平面的位置关系、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一 条直线和平面内任何一条任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直直线和这个平

10、面垂直。注意注意：任一条直线并 不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫 作直线在平面外。如（如（1 1）下列命题中，正确的是 、若直线平行于平面内的一条直线a b , 则 / 、若直线垂直于平面的斜线 b 在平面内的射影，则b 、aaa 若直线垂直于平面,直线 b 是平面的斜线，则与 b 是异面直线 、若一个棱锥的aa 所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥 （答：D） ；（2 2）正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且总保持 APBD1，则动点 P 的轨迹是_（答

11、：线段 B1C） 。 1010、直线与平面平行的判定和性质、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定判定：判定定理判定定理：如果平面内一条直线和这 个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；面面平行的性质面面平行的性质：若两个平面平行，则 其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。 （2）性质性质：如果一条直线和一个平面平行， 那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需在遇到线面平行时，常需 作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（如（1 1）、 表示平面，a、b

12、 表示直线，则 a 的一个充分不必要条件是 A、，a B、b，且 ab C、ab 且 b D、 且 a（答：D） ；（2 2）正方体 ABCD-ABCD中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM=DN，求证：MN面 AA1B1B。 1111、直线和平面垂直的判定和性质、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定判定：如果一条直线和一个平面内的两条相两条相 交交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。两条平行线中有一条直线和一个平面垂直， 那么另一条直线也和这个平面垂直。 （2）性质性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条 直线和这个平面内所有直线都垂直。如果两条直线都垂直于同一个

13、平面，那么这两条直线 平行。如（如（1 1）如果命题“若z，则”不成立，那么字母 x、y、z 在空间所yyx,zx 表示的几何图形一定是_（答：x、y 是直线，z 是平面） ；（2 2）已知 a，b，c 是直线， 、 是平面，下列条件中能得出直线 a平面 的是 A、ab，其中， B、ab ， C、， D、，（答：D） ；（3 3）AB 为O 的直径，C 为O 上的一点，AD面 ABC，AEBD 于 E，AFCD 于 F，求证：BD平 面 AEF。 1212、三垂线定理及逆定理、三垂线定理及逆定理：（1）定理定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

14、。 （2）逆定理逆定理：在平面内的一条直线，如果它 和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面其作用是证两直线异面 垂直和作二面角的平面角垂直和作二面角的平面角。 1313、直线和平面所成的角、直线和平面所成的角：（1）定义定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 （2）范围范围：；（3）求法求法：作出直线在平面上0 ,90 oo的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如如 （1 1）在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 AB=1，D 在棱 BB1上，BD=1，则 AD

15、与平面 AA1C1C 所成的角为_（答：arcsin） ；（2 2）正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 AB、C1D146的中点，则棱 A1B1 与截面 A1ECF 所成的角的余弦值是_（答：） ；（3 3）1 3 是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所PCPBPA,P60PCPAB成角的余弦值为_（答：） ；（4 4）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等33的角 ，则 sin 的值为_（答：） 。331414、平面与平面的位置关系、平面与平面的位置关系：（1）平行没有公共点；（2）相交有一条公共直 线。 1515、两个平面平行的判定和性质、两个平面平行的判定和性质：（1）判定判定：一个如果平面内有两条相交两条相交直线和另一 个平面平行，则这两个平面平行。 （