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1、实践周数学建模论文设计题目：设计题目： 铺地砖问题铺地砖问题姓名：姓名： 李兴耀李兴耀 学号：学号： 09070101920907010192 专业班级：专业班级： 统计统计 091091 指导老师：指导老师： 陶娟陶娟 完成时间：完成时间： 20112011 年年 7 7 月月 8 8 日日 1铺地砖问题摘要 要用40 块方砖铺设如图1 所示的地面, 但当时商店只有长方形瓷砖, 每块 大小等于方形的两块, 一人买了20 块长方形瓷砖, 试铺这地面, 结果弄来弄去 始终无法完整铺好, 问题: 用这20 块长方形瓷砖正好铺成图1 所示的地面可能 性是否存在? 这就是数学模型中著名的铺瓷砖问题.根
2、据这个特点，我们对以上 问题用奇偶校检法建立模型求解证明。对于以上问题，我们首先将模型建立为：我们将图进行涂色，并且编号， 其中 1（奇数）代表黑色，0（偶数）代表白色，假令一块长方形砖只能覆盖两 块不同颜色的方砖，其中然后利用奇偶校验法对该问题进行接求解，实现对图 中黑白方图的统计。关键词：铺地砖问题 奇偶校验法 图一图一2目录第一部分 问题重述 3第二部分 问题分析 3第三部分 模型假设及符号说明 4第四部分 模型的建立与求解 4-8第五部分 模型评价与推广 9第六部分 参考文献 93一、 问重述题要用40 块方砖铺设如图1 所示的地面, 但当时商店只有长方形瓷砖, 每块 大小等于方形的两
3、块, 一人买了20 块长方形瓷砖, 试铺这地面, 结果弄来弄去 始终无法完整铺好, 问题: 用这20 块长方形瓷砖正好铺成图1 所示的地面可能 性是否存在?二、 问题分析本题主要利用奇偶校验法进行分析证明，在图上染上白、黑相间的颜色,同 色的具有相同的奇偶性，异色具有相反的奇偶性。如果一个是奇数，一个是偶 数，则具有相反的奇偶性，长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方 格，从图中我们可以看出，有 21 块黑色的方图，19 块白色的方图，由已知， 只有剩下两个奇偶性相反的方砖时，才可以正好铺满，但是我们发现不管我们 怎么铺，在 19 块长方形方砖铺好后，剩下的两块方砖具有相同的奇偶性，所以
4、 无法铺上最后一块长方形地砖。三、 模型假设及符号说明（一）模型假设1各块方砖大小相等 2. 一块长方形方砖正好覆盖两块颜色不同大小相等的方形砖 3假定图形标记的形状如图一所示 4. 黑色方砖用 1 表示，白色的方砖用 0 表示 5对此图进行编号：4（二）符号说明i 代表行，j 代表列，A(ij)代表图案中所指示的固定方砖。四、 模型的建立与求解（一）模型的建立在规则“1+10，1+01，0+11，0+00”下，求相邻两块不同奇偶性的方砖数值相加为 1 的所有组合。并把最终不能相加的为 1 的组合挑选出来。（二）模型求解5此地砖的铺设无非有两种方式，一种从行，一种从列。那第一种，从行开始：A(
5、12)+ A(13)=1。A(14)+ A(15)=1。A(21)+ A(22)=1。A(23)+ A(24)=1。A(25)+ A(26)=1。A(31)+ A(32)=1。A(33)+ A(34)=1。A(35)+ A(36)=1。A(27)+ A(37)=1。A(41)+ A(42)=1。A(43)+ A(44)=1。A(45)+ A(46)=1。A(51)+ A(52)=1。A(53)+ A(54)=1。A(55)+ A(56)=1。A(47)+ A(57)=1。A(61)+ A(62)=1。A(63)+ A(64)=1。A(65)+ A(66)=1。其中只剩下 A(16)， A(67
6、)没有组合，两者都是黑色，奇偶性相同，数值加和为 2，由假设知此图案不能完全用 20 块方砖铺满。第二种：从列开始：A(21)+ A(31)=1。A(41)+ A(51)=1。A(12)+ A(22)=1。A(32)+ A(42)=1。A(52)+ A(62)=1。A(13)+ A(23)=1。A(33)+ A(43)=1。A(53)+ A(63)=1。A(14)+ A(24)=1。A(34)+ A(44)=1。A(15)+ A(25)=1。A(35)+ A(45)=1。A(55)+ A(65)=1。A(16)+ A(26)=1。6A(36)+ A(46)=1。A(56)+ A(66)=1。A
7、(27)+ A(37)=1。A(47)+ A(57)=1。其中只剩下 A(61)， A(67)没有进行组合，两者都是黑色， ，奇偶性相同，数值加和为 2，由假设知此图案不能完全用 20 块方砖铺满。由上述所得两种结论可以看出，无论怎么进行铺设，我们总是不能将其正好用 20 块长方形砖进行铺好，唯一的方法是将最后一块长方形砖平分成两块进行铺设。五、对模型的评价与推广该方案运用奇偶校验模型成功的证明了上述图案用 20 块长方形砖是不能正 常铺设的，通过从行从列两个方面全面的证明了结论，但是模型的结构比较单 一，不能借助程序进行实现，是本模型的一大遗憾。本模型属于铺设地砖模型中比特殊，较简单，基础的
8、一个模型。在其基础 山，还有另外几种普遍形式：7推广推广 1 1：（1）在 n 行, m 列的地面, 去掉同一边的两个角，判 断用若干块长方形瓷砖正好铺这地面可能性是否存在? 不妨设去掉上面的两个角, 如图2 所示, 如果去掉其它边的两个 角, 可通过旋转变成去掉上面的两个角的情形. 当m, n 都为奇数时, 整个方块数mn- 2 也为奇数, 用每块大小 等于两块方形的长方形瓷砖是无法铺的. 当m 为偶数, 不论n 为何值, 每行都是偶数块, 全部横铺就能铺 好, 因此这种情形可以用长方形瓷砖铺好. 当m 为奇数, n 为偶数时, 在左下角染上黑色, 其它染上白、黑相 间的颜色, 如图2 所示
9、, 黑格个数为mn/2白格个数为mn/2-2因此长方形瓷砖正 好铺这种地面不可能。 推广推广2:2: 在n 行, m 列的地面, 去掉对角的两个角( 图3) , 判断用若干块长方 形瓷砖正好铺这地面可能性是否存在？不妨设去掉左上和右下的两个角, 如图3 所示, 如果去掉其它的两个角, 可 通过旋转变成图3 情形.8当m, n 都为奇数时, 整个方块数mn- 2 也为奇数, 用每块大小等于两块方形的 长方形瓷砖是无法铺的. 当m 为奇数, n 为偶数, 把整个图分成3 部分, 如图4 所示, 第 块是n- 1 行, m- 1 列, 每行都是偶数块, 全部横铺就把第 块铺好, 第!块是1 行m-
10、1 列( 偶数) , 横铺就把第!块铺好, 第块是1 列,n- 2 行, 全部竖铺就把第块铺好. 因此这种情形可以用长方形瓷砖铺好.当m 为偶数, n 为奇数, 情况类似于m 为奇数, n 为偶数情况, 可以用长方形 瓷砖铺好. 当m, n 都为偶数时, 在左下角染上黑色, 其它染上白、黑相间的颜色. 如图3 所示, 黑格个数为mn/2，白格个数为mn/2-2，因此长方形瓷砖正好铺这种地面 不可能。六、参考文献1 任善强, 雷鸣. 数学模型( 第二版) M . 重庆: 重庆大学出版社, 1998: 31- 32. 2 周义仓, 赫孝良. 数学建模实验 M . 西安: 西安交通大学出版社, 2000: 79- 81.3数学建模原理与方法 蔡锁章主编 北京：海洋出版社，2000 4 数学建模沈继红等编著 哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1998 5 数学建模案例精选 朱道元等编著 北京：科学出版社，2003
