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1、福建师范大学协和学院福建师范大学协和学院 09091010 学年第学年第二二学期学期 09 级 高数 期中试卷试卷类别：闭卷 考试时间：120 分钟一、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分）1、设直线方程为均不为零，则直线( ).1111 111122 220, 0A xB yC zDA B C D A DA xD 、C（A）过原点 （B）平行轴 （C）垂直轴 （D）平行轴xxz2、平面为共线的单位向量，则它们的数量积( ), a br ra br rD（A）1 （B）-1 （C） 0 （D） cos( , )a br r3、函数在点处连续且偏导数存在是它在该点可微的( ).zf x y(
2、 , )(,)xy00A（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件4、设函数在点的某邻域内有定义，且，则曲线( , )f x y0,0(0,0)3,(0,0)1xyff 在点的一个法向量为( ).( , )zf x y0,0,0,0fB（A） （B） （C） （D）3, 1,13, 1, 1 1,0,33,0,15、的极小值点是（ ）.3322( , )339f x yxyxyyB（A）（-2，1） （B）（0，1） （C）（0，-3） （D）（-2，-3）6、设平面区域,( , ),Dx yaxa xya 1( , ) 0,Dx yxa xy
3、a题 号一二三四合 计得 分则（ ）.(cos sin )Dxyxy dxdyC（A） （B） 14cos sinDxydxdy14(cos sin )Dxyxy dxdy（C） （D）012cos sinDxydxdy二、填空题（每题 3 分，共 21 分）1、极限= 220 039lim x yxy xy 1 62、函数在点处沿东北方向的方向导数为 2yzxe(1,0)P3 2 23、直线 与平面的夹角为 . 3212xtytzt 250xyz64、设，则 lnxz zydz 2zzdxdyxzy xz5、过点且与直线垂直相交的直线方程为(3,1, 2)11 211 zyx31274xyz
4、6、星形线的全长为 33cos,sinxat yat6a7、 交换二次积分的次序得21 1+ 10 y( , )ydyf x y dx221220 01 0( , )( , )xx xdxf x y dydxf x y dy 三、计算题（每小题 8 分,共 56 分）1、计算心形线 所围成的图形的面积(1 cos ) (0)aa解 ，从而210,2,(1cos )2dAad222220011(1cos )12coscos22Aadad2222002 22011cos213112cos2coscos22222213132sinsin22242adadaa2、求过直线且与平面成角的平面方程50 4
5、0xyz xz 48120xyz4解 设平面束方程：，540xyzxz即，从而15140xyz11,5,1nu r又平面的法线向量48120xyz21, 4, 8nu u r从而 1222 1292732cos42227 9227nnnn u r u u ru ru u r所以 2 2 23131612225022724 即平面：207120xyz又平面的一个法线向量4xz31,0, 1n u u r则平面与平面的夹角的余弦为4xz48120xyz323292 22 9nnnn u u r u u ru u ru u r即平面满足条件.4xz所以，求过直线且与平面成角的平面为50 40xyz
6、xz 48120xyz4（） （）207120xyz4xz3、设，其中具有连续的二阶偏导数，求 , ,yzf u x yuxefyxz xz 2 ,解 ，12yzfefx2 12 121yyyzzfffefefex yyxyyy 12 111321232111312123,yyyyyyfffxeffxefyyzfxefefefxefx y Q 4、求椭圆抛物面上平行于平面 的切平面及法线方程.22114zxy 02zyx解 设切点为，取切向量，则000,M xy z12 , 12nxyr0012, 12Mnxyr由已知，切平面平行于平面，02zyx从而平行于平面的法线向量0012, 12Mnx
7、yr 02zyx12,1,1n u r所以 00 0001 21211,23211yxxyz 所以，切点，1, 2,3 2, 1, 1 Mn r切平面方程：，即： 21230xyz210xyz 法线方程：，即：123 211xyz1232xyz5、求曲面与平面之间的最短距离22zxy220xyz解 1 设为曲面上任一点，则( , , )x y z22zxy目标函数：；约束条件： 22222226112xyzxyzd 22zxy将约束条件代入目标函数，化为无条件极值：22222222266xyxyxxyyd将绝对值内配方得，22222xxyy22 221111111722222216216444
8、4xxyyxy所以，当且仅当时取等号221177227 64444 2466xy d1 4xy从而，求曲面与平面之间的最短距离22zxy220xyz7 6 24d 解 设为曲面上任一点，000(,)xy z22zxy则过该点的曲面的一个法向量，002,2, 1nxyr当过该点的切平面与平面平行时，可得最短距离220xyz即：002,2, 1 / / 1,1, 2nxyr，从而，所求的点为00 00022111 11248xyxyz1 1 1,4 4 8则所求的最短距离000111722227 64484 24666xyzd6、计算，其中是由面曲线绕轴旋转所得旋转体与平面22()yzdvxoz2
9、2zxx所围闭区域.2,5xx解 曲线绕轴旋转得旋转曲面：22zxx2222122yzxxyz222224;510xyzxyz投影法：将投影在面上，yOz22:41002 ,210;25yzDyzrx所以 522222()yzDyzdvyzdx dydz 2102220233126yzDyzdydzdrrdr7、求球面含在圆柱面内部的那部分曲面的表面积。2224xyz222xyx解 ，其中曲面方程：；2221xyxy DAzz dxdy224zxy则2222, 44xxxyzz xyxy 222221 4xyzz xy 2222:211,02cos22xyDxyxxyr 所以，2cos2 22
10、20 22124816 44xyDAdxdydrdr xyr 四、证明：函数 在（0，0）处可微。(5 分)2222 22221()sin,0( , ) 0,0xyxyxyf x y xy 分析 函数在处可微( , )f x y00,xy 00000000,xyzfxx yyfxydzOfxyxfxyyO 0 000000000220 0lim,lim0x yxyx yzdzfxx yyfxyfxyxfxyyxy 证明 2220001sin0,00,010,0limlimlimsin0xxxxxfxfxfxxxx 同理，0,00yf证毕. 0 0220 02222220 022220 0lim,0,00,00,0lim1sinlim1limsin0x yxyx yx yx yzdzfxyffxfyxyxyxyxyxyxy
