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1、20132013 数学面授班高数讲义数学面授班高数讲义咨询报名电话咨询报名电话:13913945717:139139457171第一讲第一讲 函数函数 极限与连续极限与连续第一节第一节 函数函数一一函数的概念（定义，定义域，对应法则，值域）：函数的概念（定义，定义域，对应法则，值域）：对对存在，则称是的函数，其中称为对应法则对应法则，称定称定,xI Rxfy)(yxfI义域，义域，称值域。称值域。R 二二. .函数的基本特性函数的基本特性 1 1.单调性单调性：定义定义 1.11.1：设函数在区间上有定义，若对于上任意两点与，且)(xfy II1x2x时，均有，则称函数在区间上单调增加21xx
2、 1212()()()()f xf xf xf x或)(xfI（或单调减少） 。如果其中的“”或“”改为“” （或“” ） ，称函数在上单)(xfI调不减（或单调不增） 。判定：判定：（1）定义：（2）导数：设在区间上可导，则)(xfIa) 单调不减；)(0)(xfxfb) 单调增；)(0)(xfxf【评注评注】 （1）判断抽象的函数的单调性，在考试时采用举反例排除法，而尽量不 用单调性的定义进行证明； （2）导数大于零的函数一定单调递增，但单调递增的可导函数的导数不一定严 格大于零，其导数也可能等于零。 2.2.奇偶性奇偶性：定义定义 1.21.2：设函数的定义域关于原点对称对称（即若，则必
3、有） ，)(xfDDxDx如果对于任一，有（或）恒成立，则称Dx)()(xfxf)()(xfxf为偶函数偶函数（或奇函数奇函数） 。)(xf几何图形几何图形：偶函数：图像关于轴轴对称；奇函数：其图像关于坐标原点坐标原点对称y判定：判定：（1）定义：（2）设可导，则：)(xf20132013 数学面授班高数讲义数学面授班高数讲义咨询报名电话咨询报名电话:13913945717:139139457172a)是奇函数是偶函数；)(xf)(xfb)是偶函数是奇函数；)(xf)(xf（3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。3 3.周期性周期性定义定义 1.31.3：设函数
4、的定义域为.如果存在一个不为零的数,使得对于任意)(xfDT有,且恒成立,则称为周期函数。使上述关系成立Dx()xTD()( )f xTf x)(xf的最小正数称为的最小正周期周期。简称为函数的周期周期。T)(xf)(xf判定：判定：（1）定义：（2）可导的周期函数其导函数为周期函数；（3）周期函数的原函数不一定是周期函数；4 4有界性有界性定义定义 1.41.4：若存在，使得，有或） ，0MxI MxfMxf)(| )(|Mxf)(则称在上有界有界（有上界上界或下界下界） ；否则，称在区间上无界无界。)(xfI)(xfI判定：判定：（1）定义：（2）在上连续在上有界；)(xf,ba)(xf,
5、ba（3）在上连续，且和存在在上有界；)(xf),(ba)0( af)0( bf)(xf),(ba（4）在区间（有限）上有界在上有界；)( xfI)(xfI【评注评注】：(1)有界性与区间有关。(2)函数在上有界的充要条件是在上既有上界又有下界。)(xfI)(xfI三、函数的分类：三、函数的分类： 1.1. 反函数反函数定义定义 1.51.5 设的定义域为,值域为。若，有唯一确定的一个)(xfy DRRy值, 若把作为自变量， 作为因变量，便得一个函数，且Dxyx)(yx则称为函数yyf)()(yx的反函数。也记为。)(xfy )(1xfy20132013 数学面授班高数讲义数学面授班高数讲义
6、咨询报名电话咨询报名电话:13913945717:139139457173注：注：在同一直角坐标系下，函数的图像与其反函数的图像重合重合，)(xfy )(yx的图像与其反函数的图像关于对称对称。)(xfy )(1xfyxy 2.2. 复合函数复合函数定义定义 1.61.6 设函数的定义域为，函数的值域为，若集合)(ufy fD)(xuZ与的交集非空，称函数为函数与复合而成的复fDZ)(xfy)(ufy )(xu合函数， 为中间变量。u 【评注评注】对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数 复合的。重点掌握函数分解成简单函数的复合，分段函数的复合。3.3.初等函数初等函数 定
7、义定义 1.71.7 由基本初等函数经有限次的四则运算、复合运算所得到的可以用一个 解析式表示的函数称为初等函数初等函数。 【评注评注】：（1）基本初等函数1 幂函数:; 2 指数函数(且);yxRxya0a 1a 3 对数函数:( 且);4 三角函数:如等;logxay 0a 1a sin ,cos ,tanyx yx yx5 反三角函数:如等.arcsin ,arccos ,arctanyx yx yx（2）基本初等函数 定义域、性质和图形必须牢记。4.4.分段函数分段函数 定义定义 1.81.8 在定义域内不能用同一个式子表示的函数.如； axxfaxxfxf)()()(2100( )(
8、 )f xxxf xaxx 【评注评注】：常见的分段函数1） 绝对值函数0 0xxxxx2） 符号函数1,0sgn0,01,0xxxx 3） 取整函数 表示不超过的最大整数 xx4） 最大值函数112 12 212( )( )( )max( ),( )( )( )( )f xf xfxf xfxfxf xfx20132013 数学面授班高数讲义数学面授班高数讲义咨询报名电话咨询报名电话:13913945717:139139457174最小值函数212 12 112( )( )( )min( ),( )( )( )( )fxf xfxf xfxf xf xfx 5.5.隐函数隐函数定义定义 1.
9、91.9 如果在方程中，当取某区间内的任一值时，相应地总有( , )0F x y x满足这一方程的唯一值存在，那么就说方程在该区间内确定的一个隐函数y( )yf x6.6.参数方程确定的函数参数方程确定的函数( ),( )xttyt 7.7.幂指函数幂指函数：；)0)()()(xuxuyxv8.8.极限、变限积分确定的函数极限、变限积分确定的函数：如， ；nnnxxxxf221)1 (lim)( )()x()(xdttfy题型一题型一 函数的概念及建立函数关系函数的概念及建立函数关系【例例 1 1】已知的定义域为0，a(a0),则的定义域为（ ）(1)f x( )f x（A）-1，a-1, (
10、B)1,a+1(C) a, a+1 (D)a-1,a【例例 2 2】已知，且，求及其定义域。2)(xexfxxf1)(0)(x)(x【例例 3 3】设 则22,0,0,( ), ( )2,0,0,xxxxg xf xxxxx 当当 当当_)(xfg题型二题型二 函数的基本特性函数的基本特性【例例 4 4】下列结论正确的是 （ ）（A A）在上是无界 （B B）时是无穷大量1sinxx0,0x 211sinxx（C C）在上是无界 （D D）在上是无界 0sinxtdt t0,201011sinxx0,【例例 5 5】设 2( )sinxxf xt dt（1）证明：( )f x是以为周期2013
11、2013 数学面授班高数讲义数学面授班高数讲义咨询报名电话咨询报名电话:13913945717:139139457175（2）求函数的值域第二节第二节 极限及其重要性质极限及其重要性质一、极限的概念一、极限的概念定义 1 ：对于 ，当时，有 。 axn n lim00NNn axn余定义 2 ：对于 ，当时，有。Axf x )(lim00X|xX|)(|Axf类似可定义：，。Axf x )(limAxf x )(lim定义 3 ：对于 ，当时，有Axf xx )(lim000|00xx。|)(|Axf类似可定义：，。Axfxf x )(lim)0(0x0Axfxf x )(lim)0(0x0二
12、、极限的性质二、极限的性质 1极限的性质：（局部）有界性、保号性、极限的唯一性、极限与左右极限、 子列的关系。 (1)有界性：设，那么一定有界。即，使得。Axn n limnx0MMxn设，则函数在的某取心领域内有界。即和Axf xx )(lim0)(xf0x0，当时，有。0M|00xxMxf | )(|(2)保序性：设，。若，则存在自然数，使得当时，Axn n limByn n limBA NNn 有；若存在自然数，使得当时有，则。nnyx NNn nnyx BA 设，。若，则存在，使得当Axf )(lim0xxBxg )(lim0xxBA 020132013 数学面授班高数讲义数学面授班高
13、数讲义咨询报名电话咨询报名电话:13913945717:139139457176时，有；若，使得当时有|00xx)()(xgxf0|00xx，则。)()(xgxfBA (3)其它性质： 极限的唯一性：数列、函数不能收敛于两个不同的极限；收敛数列与其子列的关系：如果数列收敛于，那么它的任一个子列也收敛，nxa且其极限也是；a 函数极限与左右极限的关系：；AxfxfAxf xx )0()0()(lim00 0函数极限与无穷小关系：，其中。)()()(lim0xAxfAxf xx 0)(lim0 x xx三、极限的计算三、极限的计算极限的四则运算法则： 若在某种变化下，,则xBxgAxf)(lim,
14、)(lim；)(lim)(lim)()(limxgxfBAxgxf；)(lim)(lim)()(limxgxfABxgxf。)0()(lim)(lim )()(limBxgxf BA xgxf幂指函数的运算法则及推广：设，则。这是由于BxgAxf)(lim, 0)(limBxgAxf)()(lim。BABxfxgxfxgxgAeeexfln)(ln)(lim)(ln)()(lim)(lim四、两个重要极限和极限存在准则四、两个重要极限和极限存在准则 (1)重要极限重要极限1、， 2 2、 。1sinlim 0 xxxexxx 10)1 (lim(2) 两个重要准则两个重要准则 准则准则如果数列,及满足:nxnynz， 则则。), 3 , 2 , 1( ) 1 (Lnzxynnn,lim ,lim)2(azaynnnn axn n lim准则准则 单调有界数列必有极限。20132013 数学面授班高数讲义数学面授班高数讲义咨询报名电话咨询报名电话:13913945717:139139457
