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1、1积分变换积分变换2在工程计算中在工程计算中, 无论是电学还是力学无论是电学还是力学, 经常要和随时间而 变的周期函数经常要和随时间而 变的周期函数fT(t) 打交道打交道. 例如例如:t3.1傅里叶傅里叶(Fourier)级数展开与傅里叶变换级数展开与傅里叶变换3人们发现人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函 数的线性组合来逼近所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函 数的线性组合来逼近.方波方波4个正弦波的逼近个正弦波的逼近100个正弦波的逼近个正弦波的逼近4()01( )Fourier( )cossin2TTnn nfttaftan tbn t=+则可展开为
2、级数，且在连续点 处成立：?1. 连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有限个第一类间断点?2. 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满 足狄利克雷而是要满 足狄利克雷(Dirichlet)条件条件, 即在区间即在区间-T/2,T/2上上一一. 傅里叶级数展开傅里叶级数展开51( )( )2ii tf tfede d+=()()22222( )cos0,1,2,2( )sin1,2,TnTTTnTTaftn t
3、dt nTbftn tdt nT=?()01(0)(0)cossin22TT nn ntaftftan tbn t=+=+在间断点 处成立：引进复数形式：ieetneetntintintintin2sin,2cos =+=2,T=其中f(x)傅氏积分公式傅氏积分公式61( )( )2 ( )(0)(0) 2ii tf tfede df ttf tf tt+=+ 为连续点；为间断点。(,)|( )|df tt+ +在绝对可积是指的收敛。二、傅氏积分定理二、傅氏积分定理若若f f( (t t)在(-, +)上满足条件: 1, )在(-, +)上满足条件: 1, f f( (t t)在任一有限区间上
4、满足狄氏条件; )在任一有限区间上满足狄氏条件; 即：除去有限个间断点处处连续； 分段单调，单调区间个数有限。即：除去有限个间断点处处连续； 分段单调，单调区间个数有限。 2, 2, f f( (t t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有7三、三、 Fourier变换变换，已知： + =dedeftftii)(21)( )( )()( )Fourier ( )i tFf t edtf tf t+=实自变量的复值函数称为的变换，记为。F11( )( )Fourier2 ( ).i tFe dFF +称为的逆变换，记为F1. Fourier变换的定义
5、变换的定义8( )( )Fourier( )( )f tFf tF ：一一对应，称为一组变换对。称为原像函数，称为像函数。11 ( )( ), ( )( ) ( )( ), ( )( )f tFFf tFf tf tF=在一定条件下成立若则若则FFFFFourier积分存在定理的条件是积分存在定理的条件是Fourier变换存 在的一种充分条件变换存 在的一种充分条件.注意上述关系：注意上述关系：92. Fourier变换与逆变换的性质变换与逆变换的性质下面介绍傅氏变换的几个重要性质下面介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见为了叙述方便起见, 假定在这些性质中假定在这些性质中, 凡是需要
6、求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 不再重述这些条件不再重述这些条件.)()()()()()()()(111GBFABGAFtgbtfatbgtaf+=+=+FFFFFF1）线性性质线性性质:102） 位移性质位移性质:为实常数，则，若00,)()(tFtf=F()00001 00 ()( )()( )( )()j tjtjtf tteFFef tef tF=，或FFF1 ( )( )0,11 ()() ; ()( )f tFatf atFF atfaaaa=若，则FFF3） 相似性：相似性：114）4）微分性：微分性： ( )( )
7、lim( )0, tf tFf t +=若，且则F( )( )f tj F=F如果如果f(t)在在(- , + )上连续或只有有限个可去间断点上连续或只有有限个可去间断点, +=ttftftde)()(jF解释：解释：+=ttftfttde)(je)(jj)(jtfF=12()()( )( )lim( )00,1,2,1 ,( )( )ktnnftknftjF+= =?一般地，若则F135）积分性质5）积分性质0 +=, ( )( )dttg tf tt如果当时1 =( )d ( )jtf ttf t则FF=d( )d( )dtf ttf tt证明: 因为 =j( )d ( )tf ttf t
8、FF14性质小结性质小结: 若若)()()()(:GFtgtf+线性 ( )( )f tF=F ( )( )g tG=F0j 0e)()(:tFttf位移)()(00Fetftj)()(:Fjtf导数)()(:Ftf翻转)(1d)(:Fjttft积分aFaaatf |1)0()(:相似15， + =dedeftftii)(21)(3. Fourier余弦变换和正弦变换余弦变换和正弦变换正弦变换及反变换正弦变换及反变换0( )sin( )2dFttft+=0( )sin1( )tFf td+=余弦变换及反变换余弦变换及反变换0( )cos( )2dFttft+=0( )cos1( )tFf td
9、+=160( )( )( cds2) oi tFf t edf tttt+=当当f(t)是偶函数当是偶函数当f(t)是奇函数是奇函数0( )( )2)d( sini tFf t edtit tf t+= 17运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分 性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数 方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可 以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是 求解数学物理方程的方法之一.运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分 性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数 方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可 以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是 求解
10、数学物理方程的方法之一.4. 利用利用Fourier变换求解微分方程变换求解微分方程18例： 求解微分积分方程例： 求解微分积分方程 )(d)()()(thttxctbxtxat=+)()(j)()(HXcbXXaj=+其中其中t+ , a,b,c均为常数均为常数解：根据傅氏变换的微分性质和积分性质解：根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记在方程两边取傅氏变换且记在方程两边取傅氏变换, 可得可得 ( )( )f tX=F ( )( )h tH=F+=cabHX j)()(19四、四、 Fourier变换在弹性力学中的应用变换在弹性力学中的应用+=+=+=)( ),()3()1(1),()3(
11、)1(1),(xv yuyxxukyvkkyxyvkxukkyxxyyyxx0,=jij1.基本偏微分方程的推导及Fourier变换1.基本偏微分方程的推导及Fourier变换得到关于位移的偏微分方程组得到关于位移的偏微分方程组yxeyx+=0),(20=+=1)3(2) 1() 1()(1 (1514131211kakisakaskiasiska+=+=+=1) 1() 1(2)(1()3(2524232221kakakisasiskaskia =+=+0),(),(),(),(),(0),(),(),(),(),(222524232221221514131211yysvayysvayysu
12、aysvaysuayysuayysvayysuaysvaysua积分变换积分变换( , )( , )isxu s yu x y edx+=( , )( , )isxv s yv x y edx+=212.求解偏微分方程的微分算子方法2.求解偏微分方程的微分算子方法 =+=+0),(),(0),(),(22211211 ysvdysudysvdysud+=+=+=+=22252422222321211412122215131111yayaadyaadyaadyayaad微分算子如下微分算子如下 =+=+0),(),(),(),(),(0),(),(),(),(),(222524232221221
13、514131211yysvayysvayysuaysvaysuayysuayysvayysuaysvaysua =+=+0),(),(),(),(),(0),(),(),(),(),(222524232221221514131211yysvayysvayysuaysvaysuayysuayysvayysuaysvaysua220),(22211211=ysfdddd =),(),(),(),(2122 ysfdysvysfdysu =+=+0),(),(0),(),(22211211 ysvdysudysvdysud0),()(4415331422131211=+ysfybybybybb若取若
14、取+=+=+=+=22252422222321211412122215131111yayaadyaadyaadyayaad0),(22211211=ysfdddd230),()(4415331422131211=+ysfybybybybb=+=+=+=+=25151525132415142511241323142215132411231222132114122211211211 )(aabaaaabaaaaaaaabaaaaaaaabaaaab04 153 142 131211=+bbbbb特征方程特征方程22222 4, 222222 3 , 113)44()2(13221)13(2113)44()2(13221)13(21
