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1、 2 2- -3 3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程用拉普拉斯变换求解线性微分方程 建立了系统的微分方程以后，对微分方程求解 就可以得到表示系统动态性能的时间响应。微分方 程的求解可以用经典方法或借助于计算机进行，也 可以采用拉普拉斯变换法。 一、拉普拉斯变换定义 设有函数f(t),t为实变量，s=+j为复变量。 如果线性积分存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后 的函数是复变量s的函数，记作F(s)或Lf(t)即0)(dtetfstdtetfsFtfLst= 0)()()(常称F(s)为f(t) 的变换函数或象函数，而f(t)为 F(s) 的原函数。 在上式中，其积分下限为零，但严
2、格说有0-和 0+之分 。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的 函数，0-和0+型的拉氏变换是相同的，但对于在 t=0处有无穷跳跃的函数，两种拉氏变换的结果是 不一致的。为了反映这些函数在0-，0+区间的表 现，我们约定式中的积分下限为0-。 二、几种典型函数的拉氏变换 阶跃函数 阶跃函数的定义是对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加 上一个恒值输入量。其图形如下图所示。 若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。00 0)(+= ? ?F(s)F(s)只含有不相同的极点只含有不相同的极点 =+=niiinn psA ps
3、A psA psA sNsMsF12211 )()()(? =ninitp i iiipsiiiiiieApsALsFLtfsFApssNsMApsA1111)()()(,)()()(的拉氏反变换。就可求得确定了待定系数求得的留数，可按下面方法是常数，它是ttsseetfLtfsssFssssAssssAsA sA ssssFssssF31321121221 21)()(,321121 )(21)3()3)(1(221)1()3)(1(231)3)(1(2)(342)(42=+=+= += +=+=+=+=解：的拉氏反变换求例ttsseettdtdtfssssFssssAssssAsA sA
4、ssssFsssssssssssFmnsnmsFssssssF222 1121 1232232)(2)()(21 12)2()(1)2()2)(1(3, 2) 1()2)(1(321)2)(1(3)(279523)2)(1(3)2()(,)()2)(1(795)(52=+=+= += +=+=+=+=+=令。和，使余式的的多项式与一个余式之得一常数项或一个，用分母除分子高于分母的阶次分子多项式的阶次解：的拉氏反变换。求例? ?F(s)F(s)包含共轭复数极点包含共轭复数极点若若F(s)F(s)的极点中含有复数极点，仍可用上面单极点的的极点中含有复数极点，仍可用上面单极点的 处理方法来分解处理方
5、法来分解F(s)F(s)，只是只是A Ai i是是复数。复数。与求得个方程，由这两方程可别相等，可得两，令两边实部与虚部分上面方程是一复数方程（，则有，并令方程两边同乘以因子（、也可用下面的方法求取中只求一个即可。、故也是共轭复数。、则是一对共轭复数极点，、如果2121211213321212121212111)()()()()()()()(:AApspssNsMAsApspspspsA psA pspsAsA sNsMsFAAAAAApppspsnn=+=+=?0, 1866. 0866. 05 . 05 . 0866. 05 . 0 866. 05 . 0866. 0866. 05 . 0
6、866. 05 . 0)866. 05 . 0)(866. 05 . 0()866. 05 . 0)(866. 05 . 0(1,866. 05 . 01)866. 05 . 0)(866. 05 . 0(1,)( 1) 1(1)() 1(1)(62211211212222121866. 05 . 021 866. 05 . 0223 221 22=+=+= +=+= +=+=+ +=+= =AAAAAAjAAjAjAAjjjjAsAssjsssjsjssssFsAssAsAsssssFsssssFjs js分别相等，有令方程两端实部和虚部得乘方程两边，并令用的两个复数极点求，解：求例tete
7、sFLtfsss ssssssFsFAAAsssssAtts866.0sin578.0866.0cos1)()(866.0)5 .0(5 .0866.0)5 .0(5 .011 1)()(1) 1(15 .05 .0122222321023=+=+=+= +=取拉氏反变换，得，得代入、将22222222+=+=+=+=)(cos,cos)(sin,sinasasteLsstLasteLstLatat注：? ?F(s)F(s)中包含有多重极点中包含有多重极点?11)()()()()()()()()()()()()()()()( )()()()()(11111221111 1 11111,211p
8、sr rpsr rrrnnrrrrrr rrnrrnrrpssNsM dsdBpssNsMBBBBpsA psA psApsBpsBpsBpspspssM sNsMsFsFppprsFp=+=+ + =：可分别由下列各式计算系数重极点对应的各项待定的部分分式展开式为则为互不相同的单极点，、重极点，的是若tp ntp rtp rtprrrrpsr irrpsr ijjjrnrreAeAeAeBtBtrBtrBsFLtfpssNsM dsd rBpssNsM dsd jB+ +=+ +=?2111121122111111)!2()!1()()()()()()!1(1)()()(!1拉氏反变换得将求
9、出的系数代入，取tttttsssseteeetetfsssssFsssssAsssssAsssss dsdBsssssBsA sA sB sBsFsssssF=+=+=+= += += += +=+=+=)23(21 121 32 121 32 43 21)(31 1211 32 )1(1 43 )1(1 21)(121)3()3()1()2(32 )3()1()2(43)1()3()1(221)1()3()1(23)1()1()()3()1(2)(7233232402312 2112 22431 222将常数项代入部分分式解：的拉氏反变换。求例五五. . 用拉普拉斯变换求解微分方程用拉普拉斯
10、变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程的一般步骤是：?对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，使微分方程变 成以s变量的代数方程；?求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式；?将象函数展开成部分分式；?对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的解。例例 2 28 8 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为xydtdy dtyd=+2322。，求系统的输出，为，初始条件为输入变量，设为系统的输出变量，式中)(15)0(5)0()( 120tyyytxxy= ?解： 对微分方程进行拉氏变换得用经典方法求解微分方程时，要利用初始条件确定积分时间常数， 拉氏变换求解微分方程可省去这一步，因为初始条件已包含在拉 氏变换中。若初始条件为零，则将s代替微分算子即可。tteetyssssYsssss ssssssYssYyssYysysYs2222210510)(210 1510)()2)(1(20305 )23(20305)(20)(2)0(3)(3)0()0()(+=+=+=+=+进行拉氏反变换得将上式展开成部分分式统输出的拉氏反变换为将初始条件代入可得系?dtd
