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1、从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类典型方程典型方程根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件定解条件提出相应的定解问题提出相应的定解问题第一章第一章数学建模和基本原理介绍数学建模和基本原理介绍 热量，是指在热力系统与外界之间依靠温 差传递的能量。热量是一种过程量，所以 热量只能说“吸收”“放出”。 热力学第一定律：系统在任一过程中包括 能量的传递和转化，其总能量的值保持不 变。也即能量守恒 傅里叶定律：在导热现象中，单位时间内 通过给定截面的热量，正比例于垂直于该 界面方向上的温度变化率和截面面积，而
2、热量传递的方向则与温度升高的方向相反 准准 备备 知知 识识2. *通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ),(RQPA SnAdzR yQ xPAAdiv( n 为 的单位法向量） ()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz 高斯公式高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知()(coscoscos ).PQRdvxyzPQRdS GaussGauss公式的实质公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上
3、的曲面积分之间的关系.1.1 1.1 数学模型的建立数学模型的建立 数学模型建立的一般方法：数学模型建立的一般方法：确定所研究的物理量；确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系；建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式表达为数学式; ; 简化整理，得到方程。简化整理，得到方程。 2 2 热传导动方程热传导动方程热传导动方程热传导动方程第一节第一节 热传导方程
4、的导出和定解条件热传导方程的导出和定解条件一、热传导方程的导出：一、热传导方程的导出：给定一空间内物体给定一空间内物体 ，设其上的点，设其上的点 在时刻在时刻 的温度为的温度为 。模型：模型：问题：问题：研究温度研究温度 的运动规律。的运动规律。G( , )x y z t( , , )u x y z t( , , )u x y z t分析：（两个物理定律和一个公式）分析：（两个物理定律和一个公式）分析：（两个物理定律和一个公式）分析：（两个物理定律和一个公式）1 1、热量守恒定律、热量守恒定律: :2 2、傅里叶、傅里叶（Fourier）热传导定律热传导定律: :温度变温度变 化吸收化吸收 的
5、热量的热量通过边通过边 界流入界流入 的热量的热量 热源放热源放 出的热出的热 量量 ( , ),udQk x y zdSdtn 为热传导系数。为热传导系数。( , )k x y z3 3、热量公式、热量公式: :Qcmu 任取物体任取物体 内一个由光滑闭曲面内一个由光滑闭曲面 所围成的区所围成的区 域域 ，研究物体在该区域，研究物体在该区域 内热量变化规律。内热量变化规律。1Q热传导方程的推导：热传导方程的推导：GS 热量热量 守恒守恒 定律定律区域区域 内各点的温度从时刻内各点的温度从时刻 的温度的温度 改变为时刻改变为时刻 的温度的温度 所吸收（或所吸收（或 放出）的热量，应放出）的热量
6、，应等于等于从时刻从时刻 到时刻到时刻 这段这段 时间内通过曲面时间内通过曲面 流入（或流出）流入（或流出） 内的热内的热 量和热源提供（或吸收）的热量之和。即量和热源提供（或吸收）的热量之和。即 1t2t1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t1t2t S 内温度变化所需要的热量内温度变化所需要的热量 =通过曲面通过曲面 流入流入 内的内的热量热量 +热源提供的热量热源提供的热量 QS 2Q下面分别计算这些热量下面分别计算这些热量( , , ),cc x y z （1） 内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量 QG那么包含点那么包含点 的体积微元的体
7、积微元 的温度从的温度从 变为变为 所需要的热量为所需要的热量为 1 C 21 ( , , ,)( , , ,)dQcu x y z tu x y z tdV dV设物体设物体的比热（单位质量的物体温度改变的比热（单位质量的物体温度改变所需要的热量为所需要的热量为密度为密度为( , , ),x y z ( , , )x y z1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t整个整个 内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量 Q221121 ( , ,)( , ,)()(1.1)ttttQdQcu x y z tu x y z tdVuucdt dVcdV dtt
8、t （2）通过曲面）通过曲面 进入进入 内的热量内的热量 1QS 由傅里叶热传导定律，从由傅里叶热传导定律，从 到到 这段时间内通过这段时间内通过 进入进入 内的热量为内的热量为2t1tS211( , ),tt SuQk x y zdSdtn 由高斯公式由高斯公式x SdivAdxdydzA ndS 知知211()()().(1.2)ttuuuQkkkdV dtxxyyzz （3）热源提供的热量）热源提供的热量 2Q 用用 表示热源强度，即单位时间内从单位表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从体积内放出的热量，则从 到到 这段时间内这段时间内 内热内热 源所提供的热量为源所提
9、供的热量为( , , , )F x y z t2t1t212( , , )(1.3)ttQF x y z t dV dt 由热量守恒定律得：由热量守恒定律得：221121()()()( , , , )ttttttuuuucdVdtkkkdV dttxxyyzzF x y z t dVdt 由由 及及 的任意性知的任意性知12,t t()()()( , , , ).(1.4)uuuuckkkF x y z ttxxyyzz 三维无热源热传导方程：三维无热源热传导方程：222 2 2220 .(1.6)uuuuatxyz 三维有热源的热传导方程：三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物均匀且各
10、向同性物 体，即体，即 都为常数的物体）都为常数的物体）222 2 222( , , ),(1.5)uuuuaf x y z ttxyz 2,kFaffcc其中其中称为非齐次项（自由项）。称为非齐次项（自由项）。,ck 通常称（通常称（1.5）为）为非齐次的热传导方程非齐次的热传导方程，而称（，而称（1.6） 为为齐次热传导方程齐次热传导方程。二、定解条件（初始条件和边界条件）二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：初始条件：( , , , )( , ),( , ),0: (1.7)u x y z tx y zx y zGt 边界条件：边界条件：1 1、第一边界条件、第一边界条件（ Dir
11、ichlet 边界条件）边界条件）特别地：特别地： 时，物体表面保持恒温。时，物体表面保持恒温。( , , )0g x y z t ( , , ),( , ),0,(1.8)ug x y z tx y zt ()G 2 2、第二边界条件、第二边界条件（ Neumann 边界条件）边界条件）( , , )0g x y z t 特别地：特别地： 时，表示物体绝热。时，表示物体绝热。3 3、第三边界条件、第三边界条件 ( ( D-N 混合边界条件混合边界条件 ) )( , , ),( , ),0,(1.9)ukg x y z tx y ztn ( , , ),( , ),0,(1.10)uug x
12、y z tx y ztn 11 10,.kkgukk 其中：其中： 表示表示 沿边界沿边界 上的单位外法线方向上的单位外法线方向 的方向导数的方向导数u nu n 注：注：注意第三边界条件的推导：注意第三边界条件的推导：研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题把一个温度变化规律为把一个温度变化规律为 的物体放入的物体放入 空空 气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度 为为 ，它与物体表面的温度，它与物体表面的温度 并不并不 相同。这给出了第三边界条件的提法。相同。这给出了第三边界条件的提法。1( , , , )u x y z t( , , , )u x y z t( , , , )u x y z t热传导热传导 试验定试验定 律或牛律或牛 顿定律顿定律从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：11(),(1.11)dQk u u dSdt其中比例常数其中比例常数 称为称为热
