正弦定理与余弦定理应用

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1、第八节正弦定理和余弦定理的应用知识能否忆起1实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图 1)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图 2)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图 3)北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向南偏西等其他方向角类似(4)坡度：定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4，角 为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4，i 为坡比)2解三角形应用题的一般步骤(1)审题，理解问题的实际

2、背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求小题能否全取1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 之间的关系是( )A BC90 D180答案：B2若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且 ACBC，则点 A 在点 B 的( )A北偏东 15 B北偏西 15C北偏东 10 D北偏西 10解析：选 B 如图所示，ACB90，又 ACBC，CBA45，而 30，90453015.

3、点 A 在点 B 的北偏西 15.3.(教材习题改编)如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则 A、B 两点的距离为( )A50 m B50 m23C25 m D. m225 22解析：选 A 由正弦定理得AB50(m)ACsin ACBsin B50 221224(2011上海高考)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则A、C 两点之间的距离为_千米解析：如图所示，由题意知C45，由正弦定理得，ACsin 602sin 45AC.222326答案：65(2012泰

4、州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东 60，另一灯塔在船的南偏东 75，则这艘船每小时航行_海里解析：如图，由题意知在ABC 中，ACB756015，B15，ACAB8.在 RtAOC 中，OCACsin 304.这艘船每小时航行 8 海里412答案：8解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时

5、需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解测量距离问题典题导入例 1 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量 ADBD7 米，BC5 米，AC8 米，CD.(1)求 AB 的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)自主解答 (1)在ABC 中，由余弦定理得cos C，AC2BC2AB22ACBC8252AB22 8 5在ABD 中，由余弦定理得cos D，AD2BD2AB22ADBD7272AB22 7 7由CD 得 cos C

6、cos D.解得 AB7，所以 AB 的长度为 7 米(2)小李的设计使建造费用最低理由如下：易知 SABD ADBDsin D，SABC ACBCsin C，1212因为 ADBDACBC，且CD，所以 SABDSABC.故选择ABC 的形状建造环境标志费用较低若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元，试求最低造价为多少？解：因为 ADBDAB7，所以ABD 是等边三角形，D60，C60.故 SABC ACBCsin C10，123所以所求的最低造价为 5 0001050 000 86 600 元33由题悟法求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他

7、量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理以题试法1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 A、B，观察对岸的点 C，测得CAB105，CBA45，且 AB100 m.(1)求 sin CAB 的值；(2)求该河段的宽度解：(1)sin CABsin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45 .322212226 24(2)因为CAB105，CBA45，所以ACB180CABCBA30.由正弦定理，得，ABsin ACBBCsin C

8、AB则 BC50()(m)ABsin 105sin 3062如图所示，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，则 CD 的长就是该河段的宽度在RtBDC 中，CDBCsin 4550()50(1)(m)62223所以该河段的宽度为 50(1)m.3测量高度问题典题导入例 2 (2012九江模拟)如图，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物CD(CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为 ，从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后，又测得 CD 对于山坡的斜度为 ，山坡对于地平面的坡角为.(1)求 BC 的长；(2)若 l24，15，45，30，求建筑物 CD 的高度自主解答 (1)在ABC

9、 中，ACB，根据正弦定理得，BCsin BACABsin ACB所以 BC.lsin sin(2)由(1)知 BC12()米lsin sin24 sin 15sin 3062在BCD 中，BDC ，sin BDC，262332根据正弦定理得，BCsin BDCCDsin CBD所以 CD248米3由题悟法求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用以题试法2(2012西宁模拟)要测量底部不

10、能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度解：如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在 RtABC 中，由ACB45得 BCx.在 RtADB 中，ADB30，则 BDx.3在BDC 中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，3解得 x40，所以电视塔高为 40 米测量角度问题典题导入例 3 (2012太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距12 n mile 的水面上，

11、有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若侦察艇以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值自主解答 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得 x2.故 AC28，BC20.根据正弦定理得，BCsin ACsin 120解得 sin .20sin 120285 314所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为.5 314由题悟

12、法1测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义2在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点以题试法3.(2012无锡模拟)如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为20 m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角CAD 的大小是_解析：AD26022024 000，AC26023024 500.在CAD 中，由余弦定理得cos CAD，CAD45.AD2AC2CD22ADAC22答案：45典例 某港口 O 要将一件重要物

13、品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则S900t2400230t20cos9030900t2600t400 ，900(t13)2300故当 t 时，Smin10，v30，13310 3

14、133即小艇以 30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小3(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，如图所示由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得：v29004002675.400t2600t(1t34)由于 00.则 cos A0，b2c2a22bc0 .3因此得角 A 的取值范围是.(3，2)5一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是东偏南 20，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B、C 两点间的距离是( )A10 海里 B10 海里23C20 海里 D20 海里23解析：选 A 如图所示，由已知条件可得，CAB30，ABC105，BCA45.又 AB40 20(海里)，12由正弦定理可得.20sin 45BCsin 30BC10(海里)20 122226如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30，经过 1 min 后又看到山顶的俯