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1、立体几何基础题题库（六） （有详细答案）251. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在的平面外一点，PD面 AC，PD=AD=l，设点 C 到面 PAB 的距离为d1，点 B 到平面 PAC 的距离为 d2，则（ ）（A）l d1 d2（B）d1 d2l（C）d1l d2（D）d2d1l解析：ld221 ，ld332 ，故 d2d1l，选 D。252.如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN=a).20( a（1）求 MN 的长；（2）当a为何值时，MN 的长最小； （3）当 M
2、N 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。 解析：（1）作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连接 PQ，依题意可得 MPNQ，且 MP=NQ，即 MNQP 是平行四边形。MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,2 BFAC,21,21aBQaCP , 即2aBQCP , 22)1 (BQCPPQMN)20(21)22()2()21 (222aaaa（2）由（1）知: 22 22MNa时，当 ，的中点时，分别移动到即BFACNM,22的长最小，最小值为MN(3)取 MN 的中点 G，连接 AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGM
3、N,BGMN，AGB 即为二面角 的平面角。又46 BGAG ，所以由余弦定理有3146 4621)46()46( cos22 。故所求二面角)31arccos( 。253. 如图，边长均为 a 的正方形 ABCD、ABEF 所在的平面所成的角为)20( 。点 M 在 AC 上，点 N 在 BF 上，若 AM=FN ,(1)求证:MN/面 BCE ; (2)求证:MNAB; (3)求 MN 的最小值. 解析：(1)如图,作 MG/AB 交 BC 于 G, NH/AB 交 BE 于 H, MP/BC 交 AB 于 P, 连 PN, GH , 易证 MG/NH,且 MG=NH, 故 MGNH 为平
4、行四边 形,所以 MN/GH , 故 MN/面 BCE ; (2)易证 AB面 MNP, 故 MNAB ;AFDBECNMQPABCDEFGHPMN(3)MPN即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角,即MPN,设 AP=x , 则 BP=ax , P=ax , 所以：cos)(2)(22xaxxaxMN22)cos1 (21)2)(cos1 (2aax ，故当2ax 时，有最小值a)cos1 (21 254.如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=x ,BN=y, ).2
5、,0(yx（1）求 MN 的长(用 x,y 表示)；（2）求 MN 长的最小值，该最小值是否是异面直线 AC，BF 之间的距离。解析：在面 ABCD 中作 MPAB 于 P，连 PN，则 MP面 ABEF，所以 MPPN，PB=1-AP=x22在PBN 中，由余弦定理得：PN2=02245cos2)22(xyyxxyyx22 21，在PMNRt中，MN=xyyxxPNMP22222 21)221 (1222xxyyx).2,0(yx；（2）MN1222xxyyx31)322(43)2(22xxy ，故当322x ，32y 时，MN 有最小值33。且该最小值是异面直线 AC，BF 之间的距离。2
6、55.已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 是 DD1 的中点，且截面 EAC 与底面 ABCD 成 450 角，AA1=2a，AB=a， （1）设 Q 是 BB1 上一点，且 BQ2a，求证：DQ面 EAC；（2）判断 BP 与面EAC 是否平行，并说明理由？（3）若点 M 在侧面 BB1C1C 及其边界上运动，并且总保持 AMBP，试 确定动点 M 所在的位置。 解析：（1）证：首先易证 ACDQ，再证 EODQ（O 为 AC 与 BD 的交点）在矩形 BDD1B1 中，可 证EDO 与BDQ 都是直角三角形，由此易证 EODQ，故 DQ面 EAC 得证； （2）若 BP 与
7、面 EAC 平行，则可得 BP/EO，在三角形 BPD 中，O 是 BD中点，则 E 也应是 PD 中点，但 PD=21DD1=a，而ABFECDPNMPABCDA 1B 1C 1D 1Q EONED=DO=21BD=221a，故 E 不是 PD 中点，因此 BP 与面 EAC 不平行；（3）易知，BPAC，要使 AMBP，则 M 一定在与 BP 垂直的平面上，取 BB1 中点 N，易证 BP面 NAC，故 M 应在线段 NC 上。256.如图，已知平行六面体1111DCBAABCD 的底面 ABCD 是菱形，0 1160BCDCDCCBC， （1）证明： BDCC1； （II）假定 CD=2
8、，231CC ，记面BDC1为 ，面 CBD 为 ，求二面角 -BD - 的平面角的余弦值；（III）当1CCCD的值为多少时，能使BDCCA11平面？请给出证明.解析：（I）证明：连结11CA、AC，AC 和 BD 交于.，连结OC1， 四边形ABCD 是菱形，ACBD，BC=CD， ,11DCCBCCQ可证DCCBCC11，DCBC11， 故BDOC1，但 ACBD，所以1ACBD面，从而BDCC 1； （II）解：由（I）知 ACBD，BDOC1，OCC1是二面角 BD 的平面角，在BCC1中，BC=2，231CC ，0 160BCC， OCB=60，121BCOB ，49141322
9、12 1OBBCOC ，故 C1O=23，即C1O=C1C，作OCHC1，垂足为 H，点 H 是.C 的中点，且23OH ，所以33cos11OCOHOCC ;（III）当11CCCD时，能使BDCCA11平面证明一：11CCCD，所以CCCDBC1，又CDCCBCBCD11，由此可得DCBCBD11，三棱锥BDCC1是正三棱锥.257.设OCCA11与相交于 G.，ACCA/11Q，且1211：OCCA，所以:1OC如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，求异面直线 A1C1 与 BD1 的距离.解析：本题的关键是画出 A1C1 与 BD1 的公垂线，连 B1D1 交 A1C
10、1 于 O，在平面 BB1D1 内作OMBD1，则 OM 就是 A1C1 与 BD1 的公垂线，问题得到解决. 解 连 B1D1 交 A1C1 于 O，作 OMBD1 于 M. A1C1B1D1，BB1A1C1，BB1B1D1B1. A1C1平面 BB1D1. A1C1OM，又 OMBD1. OM 是异面直线 A1C1 与 BD1 的公垂线. 在直角 BB1D1 中作 B1NBD1 于 N. BB1B1D1B1NBD1，a2aB1N3a， B1N36a,OM21B1N66a.故异面直线 A1C1 与 BD1 的距离为66a.评析：作异面直线的公垂线一般是比较困难的，只有熟练地掌握线、线垂直，线
11、、面垂直的关系后才能 根据题目所给条件灵活作出.本题在求 OM 的长度时，主要运用中位线和面积的等量关系.258. 已知：A1、B1、C1 和 A2、B2、C2 分别是两条异面直线 l1 和 l2 上的任意三点，M、N、R、T 分 别是 A1A2、B1A2、B1B2、C1C2 的中点.求证：M、N、R、T 四点共面. 证明 如图，连结 MN、NR，则 MNl1,NRl2，且 M、N、R 不在同一直线上(否则，根据三线平行公 理，知 l1l2 与条件矛盾). MN、NR 可确定平面 ，连结 B1C2，取其中点 S.连 RS、ST，则RSl2，又 RNl2， N、R、S 三点共线.即有 S，又 S
12、Tl1，MNl1，MNST，又 S， ST. M、N、R、T 四点共面. GO=2：1又OC1是正三角形BDC1的 BD 边上的高和中线,点 G 是正三角形BDC1的中心.故BDCCG1面，即BDCCA11面。证明二：由（I）知，1ACBD面，CABD1，当11CCCD时，平行六面体的六个面是全等的菱形.同CABD1的证法可得CABC11， 又1BCBD ，所以BDCCA11面。 259. 如果把两条异面直线看成“一对” ，那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中，异面直线共有( ) A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对解析：本题以六棱锥为依托，考查异面直线的概念及判断，以及空间
13、想象能力. 解法一：如图，任何两条侧棱不成异面直线，任何两条底面上的棱也不成异面 直线，所以，每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱，每条侧 棱，可以且只有与 4 条底面上的棱组成 4 对异面直线，又由共 6 条侧棱，所以 异面直线共 6424 对. 解法二：六棱锥的棱所在 12 条直线中，能成异面直线对的两条直线，必定一 条在底面的平面内，另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共 6 条，侧棱所在直线也有 6 条，各取一条配成一对，共 6636 对，因为，每条侧棱所在的直线，与底面内的 6 条直线有公共点的都是 2 条，所 以，在 36 对中不成异面直线的共有 6212 对.所以，六
14、棱锥棱所在的 12 条直线中，异面直线共有 36- 1224 对.260. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交或异面 解析：本题考查两条直线的位置关系，异面直线的概念，以及空间想象能力.解法一：设两条异面直线分别为 l1，l2，则与它们分别相交的两条直线有可能相交，如图 1，也可能异面， 如图 2，它们不可能平行，这是由于：假设这两条直线平行，则它们确定一个平面 ，两条平行线与两 条异面直线 l1 与 l2 的四个交点均在 内，则两异面直线 l1 与 l2 也在 内，这是不可能的.应选 D. 解法二：利用排除法，容易发现，分别和两
15、条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置关系，由于 这点可以排除选择选 A、B、C.故选 D.261. 已知两平面 ， 相交于直线 a，直线 b 在 内与直线 a 相交于 A 点，直线 c 在平面 内与直 线 a 平行，请用反证法论证 b,c 为异面直线. 解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论. 证：用反证法. 假设 b,c 共面，则 bc 或 b,c 相交. (1)若 bc, ca, ab 这与 baA 的已知条件矛盾； (2)若 bcP, b， P. 又 c， P. P 而 a. Pa，这样 c,a 有了公共点 P，这与 ac 的已知条件矛盾. 综上所述，假设不成立，所以 b、c 为异面直线. 说明 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.2
