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1、书书书 年全国高中数学联赛试题（ 卷） 参考答案及评分标准第 页（ 共 页） 年全国高中数学联赛试题（ 卷）参考答案及评分标准说明： 、 评阅试卷时， 请严格按照本评分标准。填空题只设分和分两档； 解答题第题分为一个档次， 第 、 题 分为一个档次。不要再增加其他中间档次。 、 对于解答题， 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理， 步骤正确， 在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、 填空题： 本大题共 小题， 每小题 分， 共 分 把答案填在题中的横线上 设 是函数 （ ） 的图像上任意一点， 过点 分别向直线 和 轴作垂线，垂足分别为 、 ， 则 的值是解： 【 方法 】
2、设 （ ， ） ， 则直线 的方程为 （ ） （ ） ， 即 由 ， ，得 （ ， ） 又 （ ， ） ， 所以 （， ） ， （ ， ） 故 （ ） 【 方法 】 如图 ， 设 （ ， ） （ ） ， 则点 到直线 和 轴的距离分别为 （ ） 槡槡， 因为 、 、 、 四点共圆（ 为坐标原点） ， 所以 故 设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 且满足 ， 则 的值是解： 年全国高中数学联赛试题（ 卷） 参考答案及评分标准第 页（ 共 页）【 方法 】 由题设及余弦定理， 得 ， 即 故 【 方法 】 如图 ， 过点 作 ， 垂足为 ， 则 ， 由题设得 又 联立解得 ， 故 【 方
3、法 】 由射影定理， 得 又 联立解得 ， 故 设 、 、 ， ， 则 槡 槡 槡的最大值是解：槡 不妨设 ， 则 槡 槡 槡 因为 槡 槡 （ ） （ 槡） （ 槡） ，所以 （ 槡） 槡 （槡 ） 槡 槡 当且仅当 ， ， ， 即 ， ， 时， 上式等号同时成立故 槡 抛物线 （ ） 的焦点为 ， 准线为 ， 、 是抛物线上的两个动点， 且满足 设线段 的中点 在 上的投影为 ， 则 的最大值是解： 【 方法 】 设 （ ） ， 则由正弦定理， 得 年全国高中数学联赛试题（ 卷） 参考答案及评分标准第 页（ 共 页） （ ） 所以 （ ） ，即 （ ） （ ） 如图 ， 由抛物线的定义及梯
4、形的中位线定理， 得 所以 （ ） 故当 时， 取得最大值为 【 方法 】 由抛物线的定义及梯形的中位线定理， 得 在 中， 由余弦定理， 得 （ ） （ ） （ ） （ ） 当且仅当 时， 等号成立故 的最大值为 设同底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球 若正三棱锥 的侧面与底面所成的角为 ， 则正三棱锥 的侧面与底面所成角的正切值是解： 如图 ， 连结 ， 则 平面 ， 垂足 为正 的中心， 且 过球心 连结 并延长交 于点 ， 则 为 的中点， 且 易知 、 分别为正三棱锥 、 的侧面与底面所成二面角的平面角， 则 ， 从而 因为 ， ， 所以 ， 即 所以 故 年全国高中数学联赛试题（
5、 卷） 参考答案及评分标准第 页（ 共 页） 设 （ ） 是定义在 上的奇函数， 且当 时， （ ） 若对任意的 ， ， 不等式 （ ） （ ） 恒成立， 则实数 的取值范围是解： 槡 ， ） 由题设知， （ ）（ ） ， （ ） ，则 （ ） （槡 ） 因此， 原不等式等价于 （ ） （槡 ） 因为 （ ） 在 上是增函数， 所以 槡 ， 即 （槡 ） 又 ， ， 所以当 时， （槡 ） 取得最大值为（槡 ） （ ） 因此， （槡 ） （ ） ， 解得 槡 故 的取值范围是槡 ， ） 满足 的所有正整数 的和是解： 由正弦函数的凸性， 有当 （ ，） 时， 由此得 ， ， ， 所以 故满足
6、的正整数 的所有值分别为 ， ， ， 它们的和为 某情报站有 、 、 、 四种互不相同的密码， 每周使用其中的一种密码， 且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种 设第周使用 种密码， 那么第周也使用 种密码的概率是 （ 用最简分数表示）解： 用 表示第 周用 种密码本的概率， 则第 周未用 种密码的概率为 于是， 有 （ ） ， ， 即 （ ） 由 知，是首项为， 公比为 的等比数列所以 （） ， 即 （） 故 年全国高中数学联赛试题（ 卷） 参考答案及评分标准第 页（ 共 页）二、 解答题： 本大题共 小题， 共 分 解答应写出文字说明、 推理过程或演算步骤 （ 本小题满分
7、分）已知函数 （ ） ， 且 （ ） 若对任意 ， 都有 （ ） ， 求 的取值范围；（ ） 若 ， 且存在 ， 使得 （ ） ， 求 的取值范围解： （ ） （ ） 令 （ ） ， 则 （ ） 分?对任意 ， （ ） 恒成立的充要条件是 （ ） ， （ ） 解得 的取值范围为（ ， 分?（ ） 因为 ， 所以 所以 （ ） （ ） 分?因此， （ ） 于是， 存在 ， 使得 （ ） 的充要条件是 ， 解得 故 的取值范围是 ， 分? （ 本小题满分 分）已知数列 的各项均为非零实数， 且对于任意的正整数 ， 都有（ ） （ ） 当 时， 求所有满足条件的三项组成的数列 ， ， ；（ ） 是否
8、存在满足条件的无穷数列 ， 使得 ？若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式； 若不存在， 说明理由解： （ ） 当 时， ， 由 ， 得 当 时， （ ） ， 由 ， 得 或 分?当 时， （ ） 若 ， 得 或 ； 若 ， 得 综上， 满足条件的三项数列有 个： ， ， ， 或 ， ， ， 或 ， ， 分? 年全国高中数学联赛试题（ 卷） 参考答案及评分标准第 页（ 共 页）（ ） 令 ， 则 （ ）从而 （ ） 两式相减， 结合 ， 得 当 时， 由（ ） 知 ；当 时， （ ） （ ） （ ） ，即 （ ） （ ） ， 所以 或 分?又 ， ，所以 （ ） ， （ ）（ ） 分? （ 本小题满分 分）如图 ， 在平面直角坐标系 中， 菱形 的边长为 ，且 （ ） 求证： 为定值；（ ） 当点 在半圆 ： （ ） （ ） 上运动时， 求点 的轨迹解： （ ） 因为 ， ， 所以 、 、 三点共线分?如图 ， 连结 ， 则 垂直平分线段 ， 设垂足为 于是， 有 （ ） （ ） （ ） （ ） （ 定值） 分?（ ） 设 （ ， ） 、 （ ， ） ， 其中 （ ） ， 则 因为 （ ） （ ） （ ） ，所以 分?由（ ） 的结论， 得 所以 从而 ， 故点 的轨迹是一条线段， 其两个端点的坐标分别为（ ， ） 、 （ ， ） 分?
