《线性方程组迭代法习题课1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组迭代法习题课1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线线性方程性方程组组求解求解习题课习题课一、一、给给定方程定方程组组123211111111121xxx 试试考察用考察用 Jacobi 迭代法和迭代法和 Seidel 迭代法求解的收迭代法求解的收敛敛性。性。解：解：对对 Jacobi 迭代法，迭代矩迭代法，迭代矩阵为阵为-1 J00.50.5B =I-D A=1010.50.50 因因为为，得特征，得特征值值3504JIB123550,22ii 得得 ，由定理知，由定理知 Jacobi 迭代法迭代法发发散。散。512JB对对 Seidel 迭代法，迭代矩迭代法，迭代矩阵为阵为=1 SBDLU120001100.50.5 11000100.5
2、0.5 112000000.5 显显然，其特征然，其特征值为值为1230,0.5 故故，由定理知，由定理知 Seidel 迭代法收迭代法收敛敛。 。()0.51sB二、二、设线设线性方程性方程组组， ， ，111211212222aaxbaaxb11220a a。 。证证明：解明：解线线性方程性方程组组的的 Jacobi 迭迭112221 120a aa a代法和代法和 Gauss-Seidel 迭代法同迭代法同时时收收敛敛或不收或不收敛敛。 。证证明：明：12 1 11111222212122000 000Ja aaaBaaa a ，故，故，得，得212211122detJa aIBa a1
3、2211122Ja aBa a 。 。12211122Ja aBa a12 1 111112212212211122000000Sa aaaBaaa a a a ， ，得，得12211122detSa aIBa a 1221 1,2 11220,Sa aBa a。注意到。注意到12211122Ga aBa a122112211122112211JSa aa aBBa aa a 由定理由定理 Jacobi 和和 Seidel 迭代法同迭代法同时时收收敛敛或不收或不收敛敛。 。三、三、对对于于，若用迭代公式，若用迭代公式12313211xx， ，k=0， ，1， ，2， ， 1()kkkxxAxb
4、取什么取什么实实数范数范围围内的内的可使迭代收可使迭代收敛敛？解：迭代公式可写成解：迭代公式可写成 1kkxIA xb迭代矩迭代矩阵为阵为。易求出。易求出 A 的特征的特征值为值为 1 和和BIA4，故有，故有 B 的特征的特征值为值为和和。所以。所以14 max 1,14B要收要收敛敛，由定理有，由定理有。 。 111101412B 所以所以是迭代收是迭代收敛敛。 。1,02 取什么取什么值值可使收可使收敛敛最快？最快？四、四、设设 A 是是 n 阶阶非奇异非奇异阵阵， ，B 为为 n 阶阶奇异奇异阵阵， ，试证试证： ： 1AB Cond AA其中，其中，是矩是矩阵阵的算子范数。的算子范数
5、。证证明：明：因因为为 Cond(A)= ，所以本，所以本题题不等式的不等式的证证1AA明可明可转转化化为证为证明明11AAB存在存在显显然。注意到然。注意到1A 111IA BAABAAB为为引入向量引入向量证证明矩明矩阵阵范数范数，考，考虑虑矩矩阵阵 B 对应对应的的齐齐次方次方程程组组 Bx=0。因。因为为 B 是奇异是奇异阵阵，存在非零向量，存在非零向量 y 满满足足By=0，用，用左乘得左乘得，有，有1A10A By 1yIA B y两两边边取范数有取范数有 11yIA B yIA By因因为为，得，得而而0y 11,IA B11IA BAAB所以有所以有11AAB证毕证毕。 。五、
6、五、 设设， ，A 非奇异，非奇异，对线对线性方程性方程组组,n nA BR1122ABxbBAxb有有块块 Jacobi 迭代法迭代法 1 1121 221kkkkAxbBxAxbBx试给试给出其矩出其矩阵阵迭代格式和迭代格式和块块 Seidel 迭代格式。迭代格式。解：解：Jacobi 迭代公式可写成迭代公式可写成 1 11112220000kkkkAxBxbABbxx 故有故有块块 Jacobi 迭代矩迭代矩阵阵格式格式为为 111111122200kkJkkxxbACbAxx1111000000JBAA BCBAA B块块 Seidel 1 11211 121kkkkAxbBxAxbB
7、x六、用列主元与全主元方法解方程六、用列主元与全主元方法解方程组组1231231 54100 30.112x x x 解：解：1、列主元法、列主元法进进行行计计算算过过程：程：12315410054100123130.1 1230.1 1210.82010.82001.21102.55205201.2112.510.82010.820120.801201.211001. 主元为5，于是进行如下迭代：消去第一列的二三两行后，主元是-2. 5，于是进行如下代换010.8200.80120.84490011.4 25 回代得到解：回代得到解：1231.221.4xxx 2、使用全主元法、使用全主元法
8、过过程：程：1233213213121012311045054100321130.11210.1321045000.80.5100.52.521054002.50.5200.50.81xxxbxxxbxxxbxxxb 在矩阵中，主元为，于是进行迭代，得到如下矩阵：迭代完毕，得到新的主元为2. 5，则进行如下迭代：312 1054002.50.52000.71.4xxxb 回代得到解：回代得到解：1231.221.4xxx 七、七、设设是是对对称正定矩称正定矩阵阵， ，经过经过高斯消元法一步高斯消元法一步ijnAa后，后，约约化化为为，其中，其中， ，证证明：明：A11120TaaA (2) 2
9、1ijnAa（ （1） ）A 的的对对角元素角元素（ （i=1,2,， ，n）；）；0iia （ （2） ）是是对对称正定矩称正定矩阵阵2A证证明：（明：（1）因）因 A 对对称正定，故称正定，故0,1,2,T iiiiae AeinL其中其中为为第第 个个单单位向量位向量T=(0,0,1,0,0)ieLLi（ （2）由）由 A 的的对对称性及消元公式得称性及消元公式得1(1)(1)1 11 1111;( ,2, )ji ijijjjiijiaaaaaaaai jnaaL故故也也对对称称2A又又，其中，其中 111 1 20TaaL AA2111 1111111na aLa a MOL显显然然
10、非奇异，从而非奇异，从而对对任意的任意的，有，有1L0x 111110,0TTTTTTL xxL ALxL xA L x由由 A 的正定性，有的正定性，有正定。正定。11TL AL又又，而，而0，故，故正定。正定。11 11 200TaL ALA11a2A八、八、给给定定线线性方程性方程组组112233111231nnnnac ac acac bbbbb OOL1231nnx x xx x M1231nnd d dd d M其中其中且系数矩且系数矩阵阵是非奇异的。是非奇异的。试试根据根据0 11iain 其系数矩其系数矩阵阵稀疏性的特点稀疏性的特点给给出一个求解算法。并指出出一个求解算法。并指
11、出所所给给算法的乘除法和加减法的运算次数。算法的乘除法和加减法的运算次数。分析：根据方程分析：根据方程组组的特点先用消元法将其化的特点先用消元法将其化为为两两对对角角方程方程组组，然后再用回代法求解。，然后再用回代法求解。解：解：记记 1 11nnbbdd第一次消元：第一次消元：记记将第一行乘将第一行乘加到第加到第行，并行，并记记1 1 1.bla 1ln 21 221 111nnbbl cddl d第二次消元：第二次消元：记记 将第二行乘将第二行乘加到第加到第行，并行，并记记2 2 2bla 2ln 32 332222nnbbl cddl d类类似做法直到第似做法直到第次消元：次消元：1n记
12、记将第将第行乘行乘加到第加到第行，并行，并记记1 1 1n n nbla 1n1nln 1 1111nn nnnnnnnnbblcddld 经过经过以上以上次消元得同解得两次消元得同解得两对对角方程角方程组为组为1n1122331nnnac ac acaab OO1231nnxxxxx M 1231nn nd d ddd M用回代可以求解。用回代可以求解。最后算法最后算法为为： ：（ （1） ） 1 1nnbbdd（ （2） ）对对依次依次计计算算1,2,1inLi i ibla 11iiiibblc 1ii nniiddl d（ （3） ） n n n ndxb（ （4） ）11,2,1iii i idc xxinndL（ （II）乘除法（）乘除法（5n-4） ） 加减法加减法 3(n-1） ）
