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1、 1 课课 题题 数学归纳法与数列极限、等比数列的各项和数学归纳法与数列极限、等比数列的各项和教学目标教学目标1、 理解数列极限的概念，掌握极限的四则运算，会求数列极限； 2、 掌握数学归纳法的步骤，并会用数学归纳法证明相应的命题； 3、 会求等比数列的各项和。教学内容教学内容数学归纳法数学归纳法一知识点梳理：一知识点梳理：数学归纳法：数学归纳法：数学归纳法是一种证明与正整数 n 有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为:验证当 n 取第一个值时命题成立,这是推理的基础;0n假设当 n=k时命题成立.在此假设下,证明当时命题也成立是推理的依据;),(0*nkNk1 kn结论.
2、 32.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察归纳猜想推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为 1;0nn 0n(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由 k 到 k+1 时命题的变化二二. . 典型例题：典型例题：【例例 1】1】在数列an中，a1=1，当 n2 时，an,Sn,Sn成等比数列头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 21(1)求 a2,a3,a4，并推出 an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列an所
3、有项的和头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 命题意图头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 知识依托头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤头 头 头 头 头
4、 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 采用的方法是归纳、猜想、证明头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 错解分析头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 (2)中，Sk=应舍去，这一点往往容易被忽视头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 321 k技巧与方法头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头
5、 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 求通项可证明是以为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 nS111 S21解头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 an,Sn,Sn成等比数列，212 Sn2=an(Sn)(n2) (*)21(1)由 a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=32由 a1=1，a2=,S3=+a3代入(*)式得头 头头
6、 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 a3= 32 31 152同理可得头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 a4=,由此可推出头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 an= 352) 1( ) 12)(32(2) 1( 1nnnn(2)当 n=1,2,3,4 时，由(*)知猜想成立头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头
7、 头头 头 头 头 头 头头 头 假设 n=k(k2)时，ak=成立) 12)(32(2 kk故 Sk2=(Sk) 12)(32(2 kk21(2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0Sk= (舍)321,121 kSkk由 Sk+12=ak+1(Sk+1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk)21 21.1, 1) 1(23) 1(2221 12122 ) 12(11112 112 12命题也成立即 knkkaakaakaakkkk kk k由知，an=对一切 nN 成立头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头
8、头头 头 )2() 12)(32(2) 1( 1nnnn(3)由(2)得数列前 n 项和 Sn=,S=Sn=0头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 121 nlim n练习：练习：1. 用数学归纳法证明n2 (nN,n5),则第一步应验证 n= ;2n3 2.2.用数学归纳法证明:时, 第一步验证不等式 *1111(,1)2321nn nNn 成立；在证明过程的第二步从 n=k 到 n=k+1 成立时,左边增加的项数是 . 3、用数学归纳法证明“当为正奇数时,能被整除”第二步的归纳假设应写成( nnnxyxy)A
9、. 假设正确,再推正确*21()nkkN23nkB. 假设正确,再推正确*21()nkkN21nkC. 假设正确,再推正确*()nk kN1nkD. 假设正确,再推正确(1)nk k2nk4、用数学归纳法证明,在验证时,左边所得的项为( 1 21*11(,1)1n naaaanNaa L1n )A. 1 B. 1+ C. D. a21aa231aaa5、用数学归纳法证明“（n+1） （n+2）（n+n）=2n13（2n1） ” ，从“k到 k+1”左端需增乘的代数式为（ ）A.2k+1 B.2（2k+1） C. D.112 kk 132 kk4 6、用数学归纳法证明“当是 31 的倍数”时,时的原式是 *2351,12222nnNL时1n ,从到时需添加的项是 。k1k 【例例 2】2】已知,证明:*Nnnn21 121 41 31 211 nnn21 21 11 (该题主要考查了学生应用数学归纳法来证明的掌握情况)练习：1. . 求证：2121 31 211nnL【例例 3】3】头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 用数学归纳法证明 4+3n+2能被 13 整除，其
