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1、第十二讲第十二讲 消元法消元法 在数学中，“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方 法。当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一 些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数， 使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐 步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。 （一）以同类数量相减的方法消元（一）以同类数量相减的方法消元例例 买 1 张办公桌和 2 把椅子共用 336 元；买 1 张办公桌和 5 把椅子共用 540 元。求 买 1 张办公桌和 1 把椅子各用多少钱？
2、（适于四年级程度）解：这道题有两类数量：一类是办公桌的张数、椅子的把数，另一类是钱数。先把题 中的数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表 12-1。这就是说，同一件事中的数量 横向对齐，单位名称相同的数量上下对齐。表 12-1从表 12-1 第组的数量减去第组对应的数量，有关办公桌的数量便消去，只剩下 有关椅子的数量：5-2=3（把）3 把椅子的钱数是：540-336=204（元）买 1 把椅子用钱：2043=68（元）把买 1 把椅子用 68 元这个数量代入原题，就可以求出买 1 张办公桌用的钱数是：336-682=336-136=200（元）答略。（二）以和、积、商、差代换某数的方法消
3、元（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达 到消元的目的。1.以两个数的和代换某数*例例 甲、乙两个书架上共有 584 本书，甲书架上的书比乙书架上的书少 88 本。两个 书架上各有多少本书？（适于四年级程度）解：题中的数量关系可用下面等式表示：甲+乙=584 甲+88=乙 把式代入式（以甲与 88 的和代换乙），得：甲+甲+88=584甲2+88=5842 甲=584-88=496甲=4962=248（本）乙=248+88=336（本）答略。2.以两个数的积代换某数*例例 3 双皮鞋和 7 双布鞋共值 242 元，一双
4、皮鞋的钱数与 5 双布鞋的钱数相同。求每 双皮鞋、布鞋各值多少钱？（适于四年级程度）解：因为 1 双皮鞋与 5 双布鞋的钱数相同，所以 3 双皮鞋的钱数与 53=15（双）布 鞋的钱数一样多。这样可以认为 242 元可以买布鞋：15+7=22（双）每双布鞋的钱数是：24222=11（元）每双皮鞋的钱数是：115=55（元）答略。3.以两个数的商代换某数*例例 5 支钢笔和 12 支圆珠笔共值 48 元，一支钢笔的钱数与 4 支圆珠笔的钱数一样多。 每支钢笔、圆珠笔各值多少钱？（适于五年级程度）解：根据“一支钢笔的钱数与 4 支圆珠笔的钱数一样多”，可用 124=3（支）的商 把 12 支圆珠笔
5、换为 3 支钢笔。现在可以认为，用 48 元可以买钢笔：5+3=8（支）每支钢笔值钱：488=6（元）每支圆珠笔值钱：64=1.5（元）答略。4.以两个数的差代换某数*例例 甲、乙、丙三个人共有 235 元钱，甲比乙多 80 元，比丙多 90 元。三个人各有多 少钱？（适于五年级程度）解：题中三个人的钱数有下面关系：甲+乙+丙=235 甲-乙=80 甲-丙=90 由、得：乙=甲-80 丙=甲-90 用、分别代替中的乙、丙，得：甲+（甲-80）+（甲-90）=235甲3-170=235甲3=235+170=405甲=4053=135（元）乙=135-80=55（元）丙=135-90=45（元）答
6、略。（三）以较小数代换较大数的方法消元（三）以较小数代换较大数的方法消元在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代 换。*例例 18 名男学生和 14 名女学生共采集松树籽 78 千克，每一名男学生比每一名女学生 少采集 1 千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克？（适于五年级程度）解：题中说“每一名男学生比每一名女学生少采集 1 千克”，则 18 名男生比女生少 采集 118=18（千克）。假设这 18 名男生也是女生（以小代大），就应在 78 千克上加上 18 名男生少采集的 18 千克松树籽。这样他们共采集松树籽：78+18=96（千克）因为已把 18
7、 名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生：14+18=32（名）每一名女学生采集松树籽：9632=3（千克）每一名男学生采集松树籽：3-1=2（千克）答略。（四）以较大数代换较小数的方法消元（四）以较大数代换较小数的方法消元在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代 换。*例例 胜利小学买来 9 个同样的篮球和 5 个同样的足球，共付款 432 元。已知每个足球 比每个篮球贵 8 元，篮球、足球的单价各是多少元？（适于五年级程度）解：假设把 5 个足球换为 5 个篮球，就可少用钱：85=40（元）这时可认为一共买来篮球：9+5=14（个）买 14 个篮球共用
8、钱：432-40=392（元）篮球的单价是：39214=28（元）足球的单价是：28+8=36（元）答略。（五）通过把某一组数乘以一个数消元（五）通过把某一组数乘以一个数消元当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一 个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。*例例 2 匹马、3 只羊每天共吃草 38 千克；8 匹马、9 只羊每天共吃草 134 千克。求一 匹马和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度）解：把题中条件摘录下来，排列成表 12-2。表 12-2把第组中的数量乘以 3 得表 12-3。表 12-3第组的数量中，羊的只数是 9 只；第
9、组的数量中，羊的只数也是 9 只。这样便可 以从第组的数量减去第组的数量，从而消去羊的只数，得到 2 匹马吃草 20 千克。一匹马吃草：202=10（千克）一只羊吃草：（38-102）3=183=6（千克）答略。（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量 乘以一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过 把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再消 元。*例例 1 1 买 3 块橡皮和 6 支铅笔用 1.68 元钱，买 4
10、块橡皮和 7 支铅笔用 2 元钱。求一块 橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱？（适于五年级程度）解：把题中条件摘录下来排列成表 12-4。表 12-4要消去一个未知数，只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的 数，从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此，把第组中的各数都乘以 4， 把第组中的各数都乘以 3，得表 12-5。表 12-5-得：3 支铅笔用钱 0.72 元，一支铅笔的价格是：0.723=0.24（元）一块橡皮的价格是：（1.68-0.246）3=（1.68-1.44）3=0.243=0.08（元）答略。*例例 2 2 有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。现在往 5 个大杯和 3 个小杯里面放满 砂糖，共 420 克；又往 3 个大杯和 5 个小杯里面放满砂糖，共 380 克。求一个大杯和一个 小杯分别可以放入砂糖多少克？（适于五年级程度）解：摘录题中条件排列成表 12-6。表 12-6把表 12-6 中组各数都乘以 5，组各数都乘以 3，得表 12-7。表 12-7-得：16 大杯放砂糖 960 克，所以，一个大杯里面可以放入砂糖：96016=60（克）一个小杯里面可以放入砂糖：（420-605）3=（420-300）3=40（克）答略。
