数学教学笔记

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1、 数学学习笔记数学专业 刘素芳高等代数研究 01本将主要内容包括：一、集合的概念，二、集合的运算，三、映射，四、置换 一、集合的概念“集合”没有严格的定义 具有某种性质元素的全体称之为集合。 A、 B、 C 表示集合 a 、 b 、 c 表示元素 aA aB 则称 A 集合包含于 B 集合 集合的相等属于等价集合，即自反性 A 包含于 B，B 包含于 A，即 A=A 对称性：若 B=A、则传递性：若、 则 A=C 集合例子：（1）所有自然数集合一般地用 N 表示，（2）（3） （4）由有限个元素 所构成的集合，一般用1a23a anaA= 表示1a23a ana（5）所有偶数集合表示为 B=2

2、n| nz（6） 如果一个集合的元素也是个集合，则称此集合为集族 （7） 、由一个集合 A 的所有子集所构成的集合，称为该集合的幂集，用 P（A）表示 例：若 A=（a、b、c）则 p（）空集、 a、b、c、a、b、a、b、 a、c、b、c、a、b、c V 称为万有几何、集合的运算性质：1、AB=BA AB=BA， 2、 （AB）C=A（BC）3、 A（BC）=（ AB）（AC）4、A（BC）=（AB）（AC）5、A=V ， A=空集AA6、若 A B 则（AB）=B AB=A 证明：A（BC）=（ AB）C证明：A（BC）=（ AB）（AC）若 a=（ AB）（AC）则 a（ AB）且 aA

3、C若 aA，则 aA（BC）aA（BC）无论怎样均有（ AB）（AC） A（BC） 另一方面 若 aA（BC） 或者若 aA，则 a=（ AB）（AC） 。3、映射，4、置换。二，集合的运算 并|ABx xAxBU或交|ABx xAxBI且差-|A Bx xAxB且V 成为万有集合 称为 A 的补集，VAAAAV U集合运算性质高等代数研究 02，一，有限集合与无限集合 定义 1.10 如果两个集合 A 与 B 之间存在一个一一映射，则称这两个集合是等价的，并称 它们具有相同的“势” 。 自然数集合 N 的一个部分集合1，2,.,n称之为自然数的一个片段，用|1，n|表示。 定义 1,1,11

4、 与自然数片段|1，n|等价的集合 A 成为有限集合 。自然数集合 N 是一个无限集合。 事实上，f（n）=n+1 是 N 到其真子集合的双映射，即 N 与真子集等价，所以，N 不是有限 集合，N 的“势”用 表示 。事实上，f（n）=n+1 是 N 到其真子集合的双映射，即 N 与真子集等价，所以，N 不是有 限集合，N 的“势”用 表示。事实上，有理数b= 证明：若0,1所有是属于 N 12121999.=0.bnnaaaaaa0 、n-1a12120.0.000nna aaa、a定义 1。12 定义 1.13 具有两个代数运算的代数系统。定义 1.14 结合律、结合运算，交换律交换运 算

5、 4 个元素的 5 种结合方法: （a。b） 。c） 。d (a。b） 。 （c。b） （a。 （b。c） ） 。d a。 （b。c） 。b a。 （b。 （c。d） ） 证明：无论怎么加括号所得结果都等于正常运算结果。即归纳证明，命题正确。即归纳证明，命题正确。定义 1.14 设A， 是两个运算的代数系统。 （3）若 a，b，cA，有()()()abca ba cooo定义 1.15 两个代数系统同构例 R 是实数集合是正实数集合。 。，R，+是两R 个代数系统，求证。与R，+同构R 高等代数研究 03 本讲主要内容：一、自然数的概念、二、自然数的运算 A，存在一个数“1” ，它不在任何数的

6、后面，即对任何数1aa ，B。对任意数 a，存在且仅存在一个它后面的数，即若 a=b，则ab C若则 a=b。ab D。 （归纳公理）具有下面性质的自然数的任何集合 M 若满足 （1）1M （2）如果 aM， 那么，它后面的数也属于 M，则 M=N，M 含有一切自然数。 定义 1.17 若数 b 在 a 的后面，则称 a 是 b 的前元，b 是 a 的后继元。 定义 1.18 自然数加法： 加法的结合律，(a+b)+c=a+(b+c),加法交换侓。高等代数研究 04本章主要讲： 归纳原理与反归纳法 一、各种归纳原理，二、反归纳法及其应证明。1，归纳法及其证明例 1 求证：证明：当222nn+1

7、n+12n =6（）（21）k=n+1 时正确。 命题 1、求证：若 ab，则 a+cb+c证明：aba=（b+c）+ka+c=（b+c）+k命题 2、1 是自然数中最小的。 命题 3、若 ba，则 ba+1 证明：若 ba，则 b=a+k k1a+ka+1 ba+1 定理 1.20例 4 求证用面值 3 分和 5 分的邮票可支付任何 n（n 大于或等于 8）分邮资。 证明： 显然当 n=8、9、10 时， 可用 3 分与 5 分邮票构成上面邮资。 例 5 二 反归纳法 若一个与自然数有关的命题 T， 如果（1）命题 T 对无穷多个自然数成立； （2）假设命题 T 对 n=k+1 正确，就能推

8、出命题对 n=k 正确，即命题对一切自然数成 立。 例 6 求证 n 个正实数的算术平均值大于或等于这 n 个实数的几何平均值。高等代数研究 05不等式 五种不等式 例 1 ，例 2 例 3 （算术平均值几何平均值） 二 几个著名的不等式 1、柯西不等式 2、赫勒德尔不等式 8 个数列的 8 次方 2n 无穷多个成立 另证（反归纳法）不等式对无穷多个自然数 K= 成立 设不等式对 n =k 成立。高等代数研究 06 第六讲 凸函数及其相应不等式本将主要内容：一, 凸函数的定义与性质 二,分析常用不等式 定义 2.1 如果函数 f（x)满足以下条件,对任意的与有 f（+x）f（）+（）其中0，0

9、，+=1,1x2x1q1x2q1q1x2q2x1q2q1q2q则称 f（x)为下凸函数。如果函数 f（x)满足以下条件对任意的与有 f（+x）f（）+（）其1x2x1q1x2q1q1x2q2x中0，0，+=1，1q2q1q2q则称 f（x)为上凸函数。若 f（x）为下凸函数 f（x）21 12 2121()()xxxxf xf xxxxx211212() ()() ()() ( )0xx f xxxf xxxf x211212() ()()( )() ()0xx f xxxxxf xxxf x211212() ()() ( )() ( )() ()0xx f xxx f xxxf xxxf x

10、2112() ()( )()( )()0xxf xf xxxf xf x2112() ()( )()( )()xxf xf xxxf xf x所以1212( )()()( )f xf xf xf x xxxx所以111212()( )()( )limlim xxxxf xf xf xf x xxxx21 1 21()()()f xf xfxxx21()()fxfx为增函数，( )fx所以( )0fx高等代数研究 07 不等式的应用 本章主要内容： 一 算术平均值大于几何平均值 二 柯西不等式的应用 三 凸函数的应用， 先学习第一个问题例 1 求函数 f（x）= (1-3x)在区间的极大值 2x

11、10,3 解 f(x)= (1-3x)= 2x32(2 )23x xx10, 3xQ20,203xx22(2 )33xxx32(2 )23(2 )33xxx x xx 22(1 3 )3xx2( )3f x332( )( )29f xf（x）的极大值为3324( )29243也可以用分析法 232( )(3)29fxxxxx令，的驻点( )0fx20,9xx经验证，当 时，取极大值2 9x ( )f x例 2 若 x0，y0，z0且满足2356xxz求函数的极大值。2( , . )f x y zx yz解 算术平均值大于几何平均值435354xxyzx xyz 2415 x yz即44615(

12、 , , )4f x y z只有等号成立时，取极大值。 ( , , )f x y z当时，取极大值。35xxyz二, 柯西不等式的应用例 4 已知 x+y+z=1，求的极小值222( , , )23f x y zxyz解 1123123xyzxyz22222221111(2(3)()()1 (23)2323xyzxyz例 5 已知22(3)(3)6xy求的极大值.y x解 令 ,ykx0kxy22222(3)(3) ( 1) (30(3)xykk xy 2(33)kxyk2(33)k=29189kk226(1)9189kkk2610kk 32 232 2k所以的极大值为sinykx32 2三

13、凸函数的应用 例 6,求 sinA+sinB+sinC 的极大值 ，其中 A，B,C 为ABC 的三个角。解: （x）=sinx 是上凸函数，f高等代数研究 08 多项式与环主要内容 一 环的定义与分类 定义 3.1 如果一个代数 系统R，+， 满足一下条件: （1） a b R。a+b=b+a （2）R 中存在零元素， aR，+a=a+=a （3）对 R 中任何元素 a，存在一个负元素（-a） ，使得 a+（-a）= （4）R 中运算+，满足结合律 （5）对 R 中任意 a，b，c 存在（a+b）c=ac+bc Ac（a+b）=ac+bc 则称 R 是一个环 环的分类 ： 有限环与无限环；

14、也可称有“1”的环或无“1”的环。 交换环 a+b=b+a 非交换环 abba 整环 s 是 R 的子环 举例 定义 3。2 如果 R 是整环，NR。若（1）N 是 R 的子环， （2）rR，aNr，aN 则 N 是 R 的环。 二 素元素与不可约元素 定义 3.2 设 R 是整环，则有 (1)P 是中的素元素的（）是 R 的素理想； （2）R 中的每一个素元素均为不可约元素； （3）若 R 是主理想环则 R 中不可约元素也是素元素。高等代数研究 09 因式分解唯一环1，因式分解唯一环的定义 、性质 满足两个条件：（1） 、 每个元素都能分解；（2） 、分解唯一 环 R 满足链条件 2，公因式与最大公因式 用（a，b）=d 表示。注意 最大公因式的定义并不保证任意两个元素都有公因式 定理 3.3 并证明 三个性质定理 3.4 若 R 是整环，如果 R 中对任意两个元素存在最大公因式，则 R 中不可约元素一 定是素元素。 推论本节主要讲了两个问题 定义、 定理 、多项式环 这中学里的最大公式有区别的。高等代数研究 10 整系数多项的式分解本节主要有两个内容：一 、整系数多项式因式分解性质 二 、整系数多项式因式分解例如 2 +4x+5 是本原多项式，因为（2，4，5）=1