实变函数试题集锦

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1、实变函数测试题集锦实变函数测试题集锦一、填空题设1,2nAn, 1,2n L, 则limnnA . ,a b :,因为存在两个集合之间的一一映射为.设E是2R中函数1cos,00,0xyx x 的图形上的点所组成的 集合，则 E ，E .若集合nER满足EE, 则E为集.若, 是直线上开集G的一个构成区间, 则, 满足:, .设E使闭区间, a b中的全体无理数集, 则mE .若( )nmEfx ( )0f x , 则说( )nfx在E上.设nER, 0nxR,若,则称0x是E的 聚点.设( )nfx是E上几乎处处有限的可测函数列, ( )f x是E上 几乎处处有限的可测函数, 若0, 有,

2、则称 ( )nfx在E上依测度收敛于( )f x.设( )( )nfxf x,xE, 则( )nfx的子列( ) jnfx , 使得.11. 11,1nnU = . 12.111,nnn nnI = . 13. (0,1)到( ,)a ab的双射是 . 14. E的全体聚点所组成的集合包含于E的充要条件是 .15. 0,1中无理数集的外测度为 .16. nR中所有开集生成的代数记为 B，称 B 中的集合为 .17. 若*0m A ，则对任意的点集B，必有*()mAB U. 18. 当E为闭区间时，*m E . 19. 设函数( )f x在可测集E上几乎处处有限，若对任意给定的0，存在E中的一个

3、闭集F，使()m E F，且( )f x在F上连续，则( )f x是可测集E上的 . 20. 是否存在开集使其余集仍为开集（是或不是选其一填写） . 21如果 则称E是自密集，如果 则称E是开集，如果EE 则称E是 .22设G表示为一列开集iG之交集：I1iiGG ，则G称为 .23. 若F表示为一列闭集iF之并集：U1iiFF ，则F称为 .24. , a bR(ba)，f在E上可测，则()E fa()E fb= .25. Cantor 集的外测度为 .26(Fatou 引理)设nf是可测集qRE 上一列非负可测函数，则 .二、判断题二、判断题. . 正确的证明正确的证明, , 错误的举反例

4、错误的举反例. . 若,A B可测, AB且AB,则mAmB.设E为点集, PE, 则P是E的外点. 点集11,2,EnLL的闭集.任意多个闭集的并集是闭集.若nER,满足*m E , 则E为无限集合. 6. 若E与它的真子集对等，则E一定是有限集 7. 凡非负可测函数都是L可积的 8.设A为1R空间中一非空集，若. aA 则. aA9.设E为可测集，则存在G型集F，使得EF ，且0)( FEm 10.)(xf在ba,上L可积，则)(xf在ba,R可积且 babadxxfRdxxfL ,)()()()(三、三、 计算证明题计算证明题1. 证明: ABCABACUI2. 设M是3R空间中以有理点

5、(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M为可数集. 3. 设nER,iEB且iB为可测集, 1,2i L.根据题意, 若有*0,imBEi , 证明E是可测集.设P是Cantor集, 32ln 1,( ) ,0,1xxPf x xxP .求10(L)( )f x dx.设函数( )f x在Cantor集0P中点x上取值为3x, 而在0P的余集中长为 1 3n的构成区间上取值为1 6n, 1,2n L, 求10( )f x dx.求极限: 13 230lim(R)sin1nnxnxdxn x. 7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集8.nR上全体有理数点集的

6、外测度为零9.设函数列nf在E上依测度收敛f，且hfnea.于E，则hf ea.于E10.设)(xf在ba,上可积，则0)()(lim 0dxxftxfbat11. 1220lim( )sin1mmxLmxdxm x.12、证明 1lim=nmnnm nAAUI 。证明：设limnnxA ，则N，使一切nN，nxA，所以I1nmmAxUI1nnmmA ,则可知nnA limUI1nnmmA 。设UI1nnmmAx ，则有n,使InmmAx ，所以n nAxlim 。 因此，n nAlim =UI1nnmmA 。13、设22 2,1Ex y xy。求2E在2R内的 2E，02E，2E。解：22

7、2,1Ex y xy ， 222,1Ex y xyo，222,1Ex y xy。14、若nRE ，对0，存在开集G, 使得GE 且满足 *()mGE，证明E是可测集。证明：对任何正整数n， 由条件存在开集EGn，使得1*mGEn 。令I1nnGG ,则G是可测集，又因1*nmGEmGEn ，对一切正整数n成立，因而)(EGm=0，即EGM是一零测度集，故可测。由)(EGGE知E可测。证毕。15、试构造一个闭的疏朗的集合0,1E ，1 2mE 。解：在0,1中去掉一个长度为1 6的开区间57(,)12 12，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为11 63 的两个开区间，以此类推，一般进行到

8、第n次时，一共去掉12n个各自长度为111 63n 的开区间，剩下的n2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为11112121 663632nnLL 。所以最后所得集合的测度为11122mE ，即1 2mE 。16、设在E上( )( )nfxf x，且1( )( )nnfxfx几乎处处成立，L, 3 , 2 , 1n, 则有( )nfxa.e.收敛于)(xf。证明 因为( )( )nfxf x，则存在 innff，使( ) infx在E上 a.e.收敛到( )f x。设0E是( ) infx不收敛到( )f x的点集。1nnnEE ff，则00,0nmEmE。

9、因此00()0nn nnmEmEU 。在1n nEEU 上，( ) infx收敛到( )f x， 且( )nfx是单调的。因此( )nfx收敛到( )f x（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限） 。即除去一个零集1n nEU 外，( )nfx收敛于( )f x，就是( )nfxa.e. 收敛到( )f x。17、设1RE , xf是E上.ea有限的可测函数。证明存在定义于1R上的一列连续函数)(xgn，使得 )()(limxfxgn n .ea于E。证明： 因为)(xf在E上可测，由鲁津定理，对任何正整数n,存在E的可测子集nE，使得1nm EEn ，同时存在定义在1R上的连续函数)

10、(xgn，使得当nEx时有)(xgn=)(xf。 所以对任意的0，成立nnEEgfE， 由此可得 1nnmEfgm EEn 。因此 0lim nngfmE，即)()(xfxgn，由黎斯定理存在 xgn的子列 xg kn，使得)()(limxfxg knk a.e 于E. 证毕。18、设,mE nf为 a.e 有限可测函数列，证明：( )lim01( )nEnnfxdxfx的充要条件是( )0nfx 。证明：若)(xfn0，由于1n n nfEEff,则01nn ff。又( )011( )nnfx fx，L3 , 2 , 1n,mE ,常函数 1 在E上可积分，由勒贝格控制收敛定理得00)(1)

11、(limEEnnndxdxxfxf。反之，若0)(1)(dxxfxfEnn（n） ，而且0)(1)(xfxfnn，对0，令nneEf,由于函数xxy1,当1x 时是严格增加函数，因此0)(1)()(1)(1dxxfxfdxxfxfme Ennenn n n。所以0limnnfE ，即0(x) nf。19、试求 21211( )(1)nnxRdxx 。解 令22( ), 1,1(1)nnxfxxx ，则( )nfx为非负连续函数，从而非负可积。根据L积分逐项积分定理，于是，221221 1,11122 1,11 1,1( )( )(1)(1)( )(1)( )12nn nnn nxxRdxLdxxxxLdxxLdx。20、设mE ，a.e.有限的可测函数列( )nfx和( )ngx，L, 3 , 2 , 1n，分别依测度收敛于)(xf和)(xg，证明 ( )( )( )( )nnfxgxf xg x。证明：因为 nnnnfxgxf xg xfxf xgxg x于是0，成立|()()|22nnnnEfgfgEffE ggU ，所以|()()|22nnnnmEfgfgmEffmE gglim|()()|lim|lim|022nnnnnnnmEfgfgmEffmE g