微分算子D的混沌性

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1、 微分算子 D 的混沌性数学与应用数学 2011 级 1 班 姓名:杨江平 指导老师：舒永录摘要：微分算子 D 的定义为 D=，表示的是在极小的横坐标变化范围内，函数的纵坐标dxdy的变化值，就是通常我们所说的对函数进行求导 f。 混沌则是一种自然现象，它是指确定性动力系统因对初值敏感而表现出的不可预测的且类 似随机性的运动。又称浑沌。动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的 状态被初始状态所决定。 关键字：微分算子 D，混沌，动力系统TitleMajor：applied mathematics grade：2011 （Times New Roman 小四号）Undergradua

2、te：yangjiangping Supervisor：shuyonglu （Times New Roman 小四号）Abstract（Times New Roman 加粗五号）：内容应与“中文摘要”对应，使用第三人称，用现在时态编写。（Times New Roman 五号）Key words（Times New Roman 加粗五号）：differential operator D，chaos，dynamic system （Times New Roman 五号）1 绪论 微分一词来自于数学分析，可微分的函数必须连续且满足可求极限的条件，既 f（x） 在点 x。的一个空心开领域（x。-，x。

3、 ）（x。 ，x。+）中有定义。如果存在。AR，使得对任意给定的0，都存在 0，当 0时，有。x-x，则称函数 f（x）在 x。处（当 x 趋于 x。时）有极限 A。微分算子 D 不同 Axf于数学分析中的微分，这个定义我在楼红卫和林伟编著的书中见过。 混沌（chaos）作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。混沌是指现实世界中存在的一 种貌似无规律的复杂运动形态。共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某 种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。混沌可在相当广泛的一些确定性动 力系统中发生。 2 正文 本文主要讨论函数 f（x）的初值 x。的改变对于 f（x）的导数值 f（x

4、。 ）的影响。 首先我们要通过几何图形来更直观的了解导数的几何意义，数学符号的出现是为了更好地 研究自然，一切离开现实的空想都不可信。Times New Roman 三号，加黑PQMNy=f(x)xT函数 y=f（x）是二维平面上的光滑连续函数而 T 是 y 的在 M 点的切线。把 M 点的横坐标看做初始点 x。则微分算子 D 求的就是 lim=D 当 趋近于 0 时，既横坐标的该变量对应纵坐标的该变量两者的比值。但我们dxdydx不知道X 的值，我们用的是一种近似的求法。数学家的方法是让 X 接近于 0 则 N 点不 断靠近 M 点，这时 MN 的连线接近于 T 并最终与 T 重合，NQ 与

5、 MQ 的比值 就接近 PQ 与 MQ的比值 。但我个人对于这点不赞同，既然 X 接近于 0 从图上可以看出 y 也随着接近于 0， 和 相等只是我们视觉上的错误，比如y=x它的导数为 2x。在 x=1 时 f（1）=2 而在 x=1 和 2 两点 和 的比值为 3 所以导数只 是个近似值。 现在我们把函数图像看做一个动力系统。我不想用简单的公式求极限，因为我也不知 道求出来的结果是否正确，我只想根据直观的图像来分析初值 x。的选取对不同的曲线函 数的影响。 我们把函数曲线看做是一个动力系统，起始点是 0 点坐标为（0,0）沿着 x 轴的正负方向运 动，随着 x 的改变 y 值也跟着改变，我们

6、要研究的就是在一定的时间内 y 值的改变量与 x 值改变量的比与 x 的值选取的关系。我们先来看 y=sinx 这个函数。0 2xysin1-1当 x=时 y=，令 X=，这时 y=sin（x+X）=从图上可以看出 X 占了横坐标6 21 1221的 1 个小单位格，而 Y=个单位小格。我们可将 D=Y。212 令 x=时 y=，令 X=，则 y=，Y=，D=Y。我们比较可得4 22 12 23 22 23在相同的 X 的条件下第一次取值 x=得到的 D=0.20，而第二次取值 x=得到的6 4D=0.16。 从图上我们可以看出函数图像在原点开始是一条接近直线线段，随着 x 的值大于某个 值以

7、后 直线慢慢向下弯曲变成一条曲线，到 x=2 这个点时曲线由递增变为递减。这个 点的弯曲弧度是最大的。由数据和观察我们得出，向 x 轴弯曲的弧度越大比起不向 x 轴弯 曲的区间段，在相同的 X 的条件下，函数值的 Y 改变的越小。这个结论无论是曲线是 单调减还是单调增的情形下都是成立的。根据 y=sinx 的函数图像，如果 X 的区间段包含 了峰值，则这种情况 Y 的值有可能出现负值和 0，要另外讨论。 我们现在只讨论函数图像的第一个峰值，延 x 的正半轴的情形。如果峰值刚好将 X 分为相等的两份，则 Y=0，从图像上看，这个时候函数从递增,已经通过峰值点转变为递 减，峰值点是函数曲线弯曲的最

8、厉害的地方，通过这个峰值点可以做一条 x 轴的平行线与 函数曲线相切，甚至如果取适当的 X 令被峰值点分开的前半段 X 小于后半段 X 则 Y 还是负值，如果取适当的 X 令被峰值点分开的前半段 X 大于后半段 X 则 Y 还 是正值，为了避免不必要的麻烦我们不让 Y 为负，因此我们不把转折点包含在 X 内， 这就减少了我们很多的假设和定义。 我们得出结论：在单调增或减的函数区间内， 函数曲线向 x 轴的弯曲程度越高 D 越小，反之函数曲线向 y 轴弯曲的程度越大则 D 值越大， 在转折点弯曲的程度最大，函数值由增大改为变小是个特殊的点，我们不考虑 X 包含转 折点的情形，这种情况 我们另外单

9、独给出。 我们看下一个函数图像y=2x+5y=5x-1（2,9）这时两条直线可见它们的 D 值都等于它们的斜率，红的为 2，蓝的为 5，所以直线的导数是 不变的。 再看下一幅图01-1y=tanhxxy这是 y=tanhx 的函数图像，通过与 y=sinx 同样的方法取值和比较我们可以很容易的得出， 在接近原点的区间段内 D 的值比远离原点的区间段的 D 的值要大，因为从原点开始向 x 轴 的正负极延伸函数曲线不断的向 x 轴弯曲，但函数值还是递增的，函数值不断的靠近1， 可以推断 x 距离原点越远 D 值越小。 至此我们可以得出微分算子 D 对于混沌的一个简单结论。当一个可导的函数，它的初

10、值选值 x。以后的函数图像越向 x 轴弯曲，那么这个初值的 D 越小，反之函数图像向 y 轴 弯曲，那么这个初值的 D 越大，这里只考虑单调区间，如果是函数的转折点，也就是函数 单调性的改变点（不考虑原点） ，如果峰值刚好将 X 分为相等的两份，则 Y=0 峰值点是 函数曲线弯曲的最厉害的地方，通过这个峰值点可以做一条 x 轴的平行线与函数曲线相切， 甚至如果取适当的 X 令被峰值点分开的前半段 X 小于后半段 X 则 Y 还是负值，且 后面一段的比例越大 Y 减小得越多如果取适当的 X 令被峰值点分开的前面一段 X 大 于后后面一段 X 则 Y 还是正值，前面一段的比例越大则 Y 增加的越大

11、。 3 结束语 在翻阅书籍和查找资料的过程中我发现书中有很多结论是不可确定的，有一个数学家 说数学离开了几何和现实就毫无意义，我也这么认为的。毕竟我们研究数学也是为了用到 现实生活中。在这个课题中我们研究的是可导函数初值的选取对于 D 的影响，主要目的是 为了研究函数图像的走向，因此我不考虑转折点包含在 X 内，这并不影响整个图像每个 D 的值和它的形状的关系。但我们在无法知道函数图像的情况下如何确定这个转折点，这 就要求导了，可以用课本中给的方法。我只能简单的根据图像和函数的取值来确定 D 与函 数图像的关系，如果 D 为 0 或者负那么说明 X 中有一个转折点。 必须强调的是我们研究的函数都必须是可求导的前提下，这里只考虑可导的函数，不 可导的函数需要另外的讨论。参考文献： 1. Grosse-Erdmann, Karl-G. and Manguillot, Alfred Peris，Linear Chaos，Springer-Verlag London Limited 2. 楼红卫和林伟编著3.数学分析欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋