微分在经济发展中的作用

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1、 微分在经济发展中的作用微分在经济发展中的作用高等数学（经济数学）已经深入、广泛地渗入到世界经济、国际金融、国际贸易、国 际经济合作等各个经济领域当中。 集合、映射、加法原理、乘法原理、线性规划、概率等知识在日常的工作和生活学习 中“经常被用到”，而如概率分析、函数的极值与微分问题虽然在人们的日常生活中并不 那么普遍，但却在现代经济发展中起着举足轻重的作用。下面重点介绍微分学在近现代经 济发展中的作用.一一.常用经济函数常用经济函数微分及求导是建立在函数基础上的。先让我们熟悉一下经济学中的常用函数以及它们 的微分求导应用。1.需求函数需求函数 消费者对商品有需求才是使商品在市场上得以流通的源动

2、力。这种源动力的核心主要 有两个：一是购买商品的愿望，二是有购买商品的能力。 影响需求的因素有人口、收入、财产、价格和爱好等等。忽略其他因素，只考虑与价 格的关系就得到了需求函数(D-需求,P-价格) 常见形式有：)(PfD ，)0, 0(babPaD，)0, 0, 0(2cbacPbPaD，)0, 0(bAAeDbP)0, 0(AAPD上述函数都可微且导数都小于 0，可见通常 D，P 成负相关。 2.供给函数供给函数供给是生产者在一定时间内，在一定的价格水平下对某种商品愿意并能够出售的数量， 需求是对消费者而言，供给是对生产者而言。所以，供给和需求是相对的概念，这就 是 说产生了和生产者之间

3、的一对永恒的矛盾。产生供给的条件有个，一是有出售商品的愿望，二是有供给商品的能力。影响供给的因素有生产成本、技术成本、劳动力及价格等等。忽略其他因素，只考虑 与 价格的关系就得到了供给函数：(Q-供给,P-价格)(PgQ 采用的供给函数有如下形式：，)0, 0(dcdPcQ，)0, 0, 0(2cbacPbPaQ同样求导发现通常 Q，P 成正相关。 3.收益函数收益函数收益是生产者出售商品的收入，平均收益是销售出单位商品的价格。总收益是将一定 量 的商品全部售出后的全部收入。收益与需求量的函数关系称为总收益函数。RD， （1-3）)()(DRQRR事实上，)()(1DDfPPfPDR。)()(

4、1QQgPPgPQR4.成本函数成本函数成本是企业在进行生产活动中所使用生产要素的价格，也就是生产费用。总成本是C 企业生产特定产量的产品所需的成本总额。产量与总成本的函数关系称为总成本函数。QC， （1-5）)()(0QCCQCCV成本函数的求导意义重大，它准确的反映的成本与产量的关系，特别是二届求导 后得出的结论对规模化后平均成本下降进行了证明。其导数性质如下：（1） 、单调增加；0)( QC（2） 、固定成本为常数；0C（3） 、总成本曲线先凸后，即先，后0)( QC0)( QC二二 边际与弹性边际与弹性1.边际边际在经济学中，边际是变量关于变量在附近（边缘上）的变化情况，即在附yx0x

5、x0x近有微小变化时，变量的变化。当的变化单位很小时，由微分近似计算公式得，yxx， （2-1）)(|)(|0 100 10xfxxfdyy xxx xxx 因此，边际值是当，改变一个单位，改变了个单位。)(0xf 0xx xy)(0xf 例如：供给函数为，说明当价格时，价格改变一1322PPQ112PdPdQ2P个单位（增加或减少一个单位） ，供给量改变 11 个单位（增加或减少一个 11 个单位）Q2.弹性弹性函数在处可导，给一个增量，相应有的增量，称)(xfy xxxyy， （2-4）xxyy / 为函数在区间上的弹性；称为函数在处的弹)(xfy ,xxxxxyyx/lim 0)(xfy

6、 x性，记为。 （2-5）xxfxf xxyyE xyx)()( /lim 0 注：函函函函函函函函xy dxdyxxfxfEyx/)()(3.应用应用 边际成本边际成本设总成本函数为，则边际成本函数为)(QCC ， （2-2）dQQdCMC)(（2-2）式可理解为当生产个单位的产品前最后增加的那个单位产量所花费的成本，Q或当生产个单位的产品增加的那个单位产量所花费的成本。Q例如：，该式表明：当产量到达 900 个单位时，2 120011100QC5 . 1|900MC前后每变化一个单位的产量，所用的成本为 1.5. 边际收益边际收益收益函数，边际收益为函数)()(1QQgPPgPQR， （2

7、-3） )()()(111 QgQQgdQQdQgMR其中为销量。该式可理解为当销售个单位的产品时，多销售或少销售一个单位产品使QQ其增加或减少的收益。 商品弹性问题商品弹性问题经济学中对需求价格弹性有下述规定：当某商品的需求价格弹性，则称该商1DPE品的需求量对价格富有弹性富有弹性；当某商品的需求价格弹性，则称该商品的需求量对1DPE价格溃乏弹性溃乏弹性；当时，则称该商品具有单位弹性单位弹性。如果某商品因适应市场需求而1DPE降低了产品的价格，会不会因此而降低了收益呢？针对该问题我们做如下分析：（1） 、富有弹性商品此时需求价格弹性大于 1，若将其价格提高 1%，则需求量下降将超过 1%，因

8、而总收益减少；反之，若将其价格下降 1%，则需求量增加将超过 1%，因而总收益增加。即，当商品富有弹性时，适当的降价会使收益增加，提价会使收益减少。（2） 、溃乏弹性商品此时需求价格弹性小于 1，若将其价格提高 1%，则需求量下降将低于 1%，因而总收益增加；反之，若将其价格下降 1%，则需求量增加将低于 1%，因而总收益减少。即，当商品溃乏弹性时，适当的提价会使收益增加，降价会使收益减少。（3） 、单位弹性商品此时需求价格弹性等于 1，若将其价格提高 1%，则需求量下降为 1%，总收益不变；若将其价格下降 1%，则需求量增加为 1%，总收益不变。以上通过对需求价格弹性大于 1、小于 1 和等于 1 的讨论，分别给出了使总收益增加的提价和降价策略。随着科学不断的发展，微积分理论也在不断的发展完善之中，并且深远地影响着社会 经济的发展。除此之外，偏导、极值、拓扑等等都在经济学中广泛而深入地发挥着它们的 作用。而且相信高等数学的影响将会更加广泛而有力。