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1、 1第九章第九章 重积分重积分 习题 9-1 1根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （2）()2Dxyd+与()3Dxyd+， 其中积分区域D是由圆周()()22212xy+=所围成 解：圆心()2,1到直线10xy+ =的距离为2，已知圆的半径2，可见10xy+ =为圆的切线，圆域()()22212xy+位于直线10xy+ =的上方，因此(),x yD时有1xy+，所以()()23DDxydxyd+ （4）()lnDxy d+与()2lnDxyd+其中(),35,01Dx yxy= 解：因为(),35,01Dx yxy=，显然(), x yD时有36xy+，于是 xye+，()()2l
2、nlnxyxy+，所以 ()()2lnlnDDxydxy d+ 2利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）()DIxy xy d=+，其中(),01,01Dx yxy=； 解：因为当点(), x yD时有()02xy xy+ ，又D的面积为 1，所以 ()02DIxy xy d=+ 习题 9-2 1计算下列二重积分： （2）()32Dxy d+，其中D是由两坐标轴及直线2xy+=所围成的闭区域； 解：02:02xyDy ， ()()2222200003323222yyDxy ddyxy dxxxydy+=+=+()2 3230122022233yyy= += （4）()cosDxxy d+
3、，其中D是顶点分别为()()()0,0 ,0 ,ABC 的三角形区域 解：0:0yxDx ， 2()()()0000coscossinxxDxxy dxdxxy dyxxydx+=+=+()03sin2sin2xxx dx= 2画出积分区域，并计算下列二重积分 (2) 2Dxy d，其中D是由圆周224xy+=及 y 轴所围成的右半闭区域； 解：2:04, 22Dxyy ， ()22 4 222222 0 21644215yDxy dy dyxdxyydy= (4) ()22Dxyx d+，其中D是由直线2,2yyx yx=所围成的闭区域； 解：:,022yDxyy, ()()2 222223
4、20 0219313 2486yyDxyx ddyxyx dxyydy+=+=. 4化二重积分(),Df x y d为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分） ，其中积分区域D是 （1）由直线yx=和抛物线24yx=所围的闭区域； 解：()()4202:, ,04xx DxyxDf x y ddxf x y dyx=, ()()22404:, ,4 04yyDyxyDf x y ddyf x y dx y= （3）由直线yx=和2,x =双曲线1yx=所围的闭区域； 解: ()()2111 :, , 12xxDyxDf x y ddxf x y dyx x= , 1212122
5、, :, :12112xyxyDDDDDyy=3()()()()()1212221112, yyDDDf x y df x y df x y ddyf x y dxdyf x y dx=+=+ 6改换下列积分的积分次序： （1）()1 0 0,ydyf x y dx； 解：:1,01D xyx，()()1 1 10 0 0 ,yxdyf x y dxdxf x y dy= （5）()ln1 0,exdxf x y dy； 解：()()ln 1 1 0 0 ,yexeedxf x y dydyf x y dx=； 8 计 算 由 四 个 平 面0, 0, 1, 1xyxy=所 围 成 的 柱 体
6、 被 平 面0=z及632=+zyx截得的立体的体积 解：由题可知积分区域为, 10, 10:yxD被积函数为yxyxf326),(=，故 27)229()326()326(1 0 1 0 1 0 =dxxdyyxdxdyxVD 12化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1）dyyxfdx1 0 1 0 ),(； 解：+ sin10 24cos10 40 )sin,cos()sin,cos(dfddfd （3）dyyxfdxxx21 1 1 0 ),( 解： +1 sincos120 )sin,cos( dfd 14利用极坐标计算下列各题： （1）+Dyxde22, 其中 D 是由圆周42
7、2=+ yx所围成的闭区域； 解：原式) 1(42 0 2 0 2=eded （3）dxyDarctan, 其中D是由圆周1, 42222=+=+yxyx及直线xyy= , 0所围成的在第一象限的闭区域 解：原式2240 13 64dd = 415. 选用适当的坐标计算下列各题： （1）dyxD22 , 其中D是由直线2, xyx=及曲线1=xy所围成的闭区域 解：原式242223 121129 1424xxxxxdxdyxx dxy= += （2）+Ddyxyx222211，其中D是由圆周122=+ yx及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域 解：原式22 21 221112 2220001(
8、2)1(1)8tt dtddt =+=+= （3）+Ddyx)(22, 其中D是由直线, , , 3 (0)yxyxayaya a=+=所围成的闭区域 解：原式3 22()ayay adyxydx =+432233 223 14332 2323aaayayayadyayyaaaa= +=+= （4）dyxD+22，其中D是由圆环形闭区域 | ),(2222byxayx+ 解：原式2 2330 2()3baddba= 习题 9-3 1化三重积分dxdydzzyxf),(为三次积分，其中积分区域分别是： （1）由双曲抛物面zxy=及平面0, 01=+zyx所围成的闭区域 解：投影区域( , )|0
9、1,01xyDx yxyx= +，12( , )0,( , )Z x yZx yxy=，故 110000( , , )( , , )( , , )xyxyxxyDf x y z dxdydzf x y z dz dxdydxdyf x y z dz= （2）由曲面22zxy=+及平面1z =所围成的闭区域 解：投影区域为22( , )| 11,11xyDx yxxyx= ， 22 12( , ),( , )1Z x yxyZx y=+=，故 5222222111111( , , )( , , )( , , )xyxxyxxy Df x y z dxdydzf x y z dz dxdydxdy
10、f x y z dz+ = （3）由曲面222zxy=+及22zx=所围成的闭区域 解：投影区域为22( , )| 11,11xyDx yxxyx= ， 222 12( , )2,( , )2Z x yxyZx yx=+=，故 2222222221122112( , , )( , , )( , , )xyxxxxyxxy Df x y z dxdydzf x y z dz dxdydxdyf x y z dz+ = （4）由曲面(0)czxy c=，22221,0xyzab+=所围成的在第一卦限内的闭区域 解：投影区域为22( , )|0,01xyxDx yxayba=， 12( , )0,(
11、 , )xyZ x yZx yc=，故 2210000( , , )( , , )( , , )xyxyxxyabccaDf x y z dxdydzf x y z dz dxdydxdyf x y z dz= 3设123( , , )( )( )( )f x y zf xfyfz=， ( , , )|,x y zaxb cyd lzm =，证明： 123123( )( )( )( )( )( )bdmaclf x fy fz dxdydzf x dxfy dyfz dz=证明：123123( )( )( )( )( )( )xyml Df x fy fz dxdydzf x fy fz dz
12、 dxdy= 312312( )( )( )( )( )( )xymmbdllac Dfz dzf x fy dxdyfz dzdxf x fy dy=123( )( )( )bdmaclf x dxfy dyfz dz= 5计算31 (1)dxdydzxyz+，其中为平面0,0,0,xyz=1xyz+=所围成的四面体 解：投影区域( , )|01,01xyDx yxyx= ，12( , )0,( , )1Z x yZx yxy= ，6故 1113300011 (1)(1)xx ydxdydzdxdydzxyzxyz =+111210001111(1)4(1)3(8ln25)24816xdxx
13、ydyxxdx=+=+ += 9利用柱面坐标计算下列三重积分： （2）22xy d+,其中由曲面222xyz+=，及平面2z=所围成的闭区域； 解：积分区域为2 ( , , )|02 , 02, 22zz =，故 222222233500021643xy ddddzd+= 习题 94 1求球面2222azyx=+含在圆柱面axyx=+22内部的那部分面积 解：)0,:(422222+ =yaxyxDd yxaaAD cos22 22 0 044(1)2ardrada ar= 3底圆半径相等的两个直交圆柱面222Ryx=+及222Rzx=+所围立方体的表面积 解：)0, 0,:(1622222+ =yxRyxDd xRRAD 22222 0 01616RRxdyRdxR Rx= 5平面薄片所占的闭区域D由抛物线2xy =及直线xy =所围成，它在点),(yx处的面密度yxyx2),(=，求该薄片的质心 解：21 220 1 35xx DMx yddxx ydy=；4812=DyydxxM； 5412ydyxMDx=，4835=MMxY；5435=MMyX 9设均匀薄片（面密度为常数 1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯
