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1、反比例函数图象中基本图形面积的应用1AOyxCByx图 1NPOMxy4反比例函数图象中基本图形面积的应用反比例函数图象中基本图形面积的应用我们知道，反比例函数我们知道，反比例函数的图象有这样一个重要性质：的图象有这样一个重要性质：(0)kykx如图如图 1，P（x，y）是反比例函数）是反比例函数的图象上的一点，的图象上的一点，(0)kykx过点过点 P 分别向分别向 x 轴、轴、y 轴作垂线，垂足分别为轴作垂线，垂足分别为 M、N，连接，连接 OP，则可得矩形、三角形等基本图形的面积如下：，则可得矩形、三角形等基本图形的面积如下：（1）SPM PNx yxykgg矩形（2）111 222PO
2、MPONSSx yxykg纵观近几年中考试题，以上性质的应用越来越被命题者纵观近几年中考试题，以上性质的应用越来越被命题者 青睐，甚至出现在压轴题中，考查学生的灵活运用于应变能青睐，甚至出现在压轴题中，考查学生的灵活运用于应变能 力。正基于此，略举几例加以说明，以引发教学中的足够重力。正基于此，略举几例加以说明，以引发教学中的足够重 视。视。例例 1 （2008 年巴中市）如图年巴中市）如图 2，若点，若点在反比例函数在反比例函数 A的图象上，的图象上，轴于点轴于点，的面积的面积(0)kykxAMxMAMO为为 3，则，则 k 评析：直接运用性质评析：直接运用性质 图图 21 2AMOSk13
3、2k 6k 因为反比例函数因为反比例函数 的图象在第二象限，所以的图象在第二象限，所以 k 0，则，则 k=-6(0)kykx例例 2 如图如图 3：函数：函数kxy（k0）与）与的图象交于的图象交于 A、B 两点，过点两点，过点 A 作作 AC 垂直于垂直于y轴，轴，垂足为点垂足为点 C，则，则 BOC 的面积为的面积为 。3图评析：直接运用性质以及图象的对称性，评析：直接运用性质以及图象的对称性，1422BOCAOCSS例例 3、 （2008 福建福州）如图福建福州）如图 4，在反比例函数，在反比例函数（）的图象上，有点）的图象上，有点2yx0x 反比例函数图象中基本图形面积的应用22yx
4、xyOP1P2P3P41234 图 4图 5OxAyB，它们的横坐标依次为，它们的横坐标依次为 1，2，3，4分别分别1234PPPP，过这些点作过这些点作轴与轴与轴的垂线，图中所构成的轴的垂线，图中所构成的xy阴影部分的面积从左到右依次为阴影部分的面积从左到右依次为，则，则123SSS，123SSS评析：根据函数图象性质以及利用整体思想容易求得评析：根据函数图象性质以及利用整体思想容易求得2-0.5=1.5,123SSS本题也可以分别直接计算本题也可以分别直接计算再求和再求和.123SSS，例例 4、 （2007 福建福州）如图福建福州）如图 5，已知直线，已知直线与双曲线与双曲线1 2yx
5、交于交于两点，且点两点，且点的横坐标为的横坐标为(0)kykxAB，A4（1）求）求的值；的值；k（2）若双曲线）若双曲线上一点上一点的纵坐标为的纵坐标为 8，(0)kykxC求求的面积；的面积；AOC（3）过原点）过原点的另一条直线的另一条直线 交双曲线交双曲线于于两点（两点（点在第一点在第一Ol(0)kykxPQ，P象限）象限） ，若由点，若由点为顶点组成的四边形面积为顶点组成的四边形面积ABPQ，为为，求点，求点的坐标的坐标24P 评析：这是一道压轴题，它以双曲线与三角形、四边评析：这是一道压轴题，它以双曲线与三角形、四边 形的面积主线。形的面积主线。 （1）k=8 （2）思路一：如图）
6、思路一：如图 51，补成矩形，补成矩形 DMON点点在双曲线上，当在双曲线上，当时，时，QC8y 1x 点点的坐标为的坐标为C(18)，过点过点分别做分别做轴，轴，轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为， 图图 5-1AC，xyMN，32ONDMS矩形4ONCS9CDAS4OAMS3249415AOCONCCDAOAMONDMSSSSS 矩形思路二：如图思路二：如图 52， 过点过点分别做分别做轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为，CA，xEF，则则 所以所以142AOFEOCSSkAOCSS梯形C EFA解答如下解答如下:图 52OxAyBFEC反比例函数图象中基本图形面积的应用3点点在双曲线在双曲线
7、上，当上，当时，时，QC8yx8y 1x 点点的坐标为的坐标为C(18)，点点，都在双曲线都在双曲线上，上，QCA8yx4COEAOFSSCOECOAAOFCEFASSSS梯形COACEFASS梯形，1(28) 3152CEFAS Q梯形15COAS（3）只要将以）只要将以 A、B、P、Q 为顶点平行四边形面积转化为三角形为顶点平行四边形面积转化为三角形 AOP 的面积的面积 即可，同时注意即可，同时注意 P 点的位置，因此需要分类讨论。点的位置，因此需要分类讨论。 反比例函数图象是关于原点反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，的中心对称图形，QO，四边形四边形是平行四边形是平行四边形OPO
8、QOAOBAPBQ1124644POAAPBQSS平行四边形设点设点横坐标为横坐标为，得，得P(04)m mm且8()P mm，过点过点分别做分别做轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为，PA，xEF，点点在双曲线上，在双曲线上，QPA，4PQEAOFSS若若，如图，如图 53，04m，POEPOAAOFPEFASSSSQ梯形6POAPEFASS梯形182(4)62mm解得解得，（舍去）（舍去） 2m 8m (2 4)P ，若若，如图，如图 54，4m AOFAOPPOEAFEPSSSSQ梯形，6POAPEFASS梯形182(4)62mmg解得解得，（舍去）（舍去） 8m 2m (81)P，点点的坐
9、标是的坐标是或或P(2 4)P ，(81)P ，例例 5 （08 浙江湖州）已知：在矩形浙江湖州）已知：在矩形中，中，AOBC ，分别以分别以所在直线为所在直线为轴和轴和4OB 3OA OBOA，x图 53OAyBFQEPx图 54OxAyBFEQP反比例函数图象中基本图形面积的应用4轴，建立如图轴，建立如图 6-1 所示的平面直角坐标系所示的平面直角坐标系是边是边上的一个动点（不与上的一个动点（不与yFBC重合）重合） ，过，过点的反比例函数点的反比例函数的图象与的图象与边交于点边交于点BC，F(0)kykxACE（1）求证：）求证：与与的面积相等；的面积相等； 图图 6-1 AOEBOF（
10、2）记）记，求当，求当为何值时，为何值时，有最大值，最大值为多少？有最大值，最大值为多少？OEFECFSSSkS（3）请探索：是否存在这样的点）请探索：是否存在这样的点，使得将，使得将沿沿对折后，对折后，点恰好落点恰好落FCEFEFC 在在上？若存在，求出点上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由OBF评析：本题命题思路与例四类似，主要考查反比例函数评析：本题命题思路与例四类似，主要考查反比例函数的图象性质的图象性质(0)kykx与图形的面积等。与图形的面积等。（1）证明：设）证明：设，与与的面积分别为的面积分别为，11()E xy，22()F xy，AOEF
11、OB1S，2S由题意得由题意得，1 1kyx2 2kyx，11111 22Sx yk22211 22Sx yk，即，即与与的面积相等的面积相等12SSAOEFOB（2）由题意知：）由题意知：两点坐标分别为两点坐标分别为，EF，33kE，44kF，1111432234ECFSEC CFkkg11121222EOFAOEBOFECFECFECFAOBCSSSSSkkSkS矩形11112212243234OEFECFECFSSSkSkkk 21 12Skk 当当时，时，有最大值有最大值161212k S131412S 最大值（3）如图）如图 6-2，存在符合条件的点，存在符合条件的点，F反比例函数图
12、象中基本图形面积的应用5它的坐标为它的坐标为 图图 6-221432，例例 6 （08 山东滨州）山东滨州） （1）探究新知：如图）探究新知：如图 7-1，已知，已知 ABC 与与 ABD 的面积的面积 相等，试判断相等，试判断 AB 与与 CD 的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由.（2）结论应用：）结论应用：如图如图 7-2，点，点 M、N 在反比例函数在反比例函数 y=的图象上，的图象上，)0( kxk过点过点 M 作作 ME y 轴，过点轴，过点 N 作作 NF x 轴，垂足分别为轴，垂足分别为 E，F. 试应用（试应用（1）中）中 得到的结论证明：得到的结论证明：MN EF.
13、 若若中的其他条件不变，只改变点中的其他条件不变，只改变点 M，N 的的 位置如图位置如图 7-3 所示，请判断所示，请判断 MN 与与 EF 是否平行是否平行.评析：这是一道设计新颖、培养学生探究能力的好题。评析：这是一道设计新颖、培养学生探究能力的好题。（1）证明：分别过点）证明：分别过点 C、D 作作.CGABDHAB、垂足为垂足为 G、H，则，则 图图 7-1090 .CGADHB CGDHABCABDPQVVP与的面积相等C G =D H四边形C G H D 为平行四边形AB C D .（2）证明：连结证明：连结 MF，NE设点设点 M 的坐标为的坐标为，点，点 N 的坐标为的坐标为11( ,)x y，22(,)xy 点点 M，N 在反比例函数在反比例函数的图的图0kykxf象上，象上， ，11x yk22x yk2,MEyNFx OFx Q1轴，轴 O E=y图图 7-2112211 22 11 22EFMEFNEFMEFNSx ykSx ykSSVVVV由（由（1）中的结论可知：）中的结论可知： MN EF。 MN EF。反比例函数图象中基本图形面积的应用1图图 7-3
