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1、第九章第九章 立体几何立体几何 第一节第一节 平面的基本性质平面的基本性质 一复习目标：一复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 二课前预习：二课前预习： 1A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确 的是（ C ） ( )AlBlBAlA, ( )BAA,，ABBB=,直线 ( )CAlAl, ()DCBA,，CBA,且CBA,不共线与重合 2一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为?45，腰和上底边均为 1 的等腰梯形，则 这个平面图形的面积是 （ D ） ( )A22 21+ ( )B221+ ( )C21+
2、()D22+ 3对于空间三条直线，有下列四个条件： 三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行； 三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交 其中，使三条直线共面的充分条件有（ B ） ( )A1 个 ( )B2 个 ( )C3 个 ()D4 个 4空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多 可以确定 7 个 个平面 三例题分析：三例题分析： 例 1如图，在四边形 ABCD 中，已知 ABCD，直线 AB，BC，AD，DC 分别与平面 相交于点 E， G，H，F求证：E，F，G，H 四点必定共线 解：ABCD， AB，CD 确定一个平面
3、 又ABE，AB，E，E， 即 E 为平面 与 的一个公共点 同理可证 F，G，H 均为平面 与 的公共点 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， E，F，G，H 四点必定共线 说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理 2，即先证明这些点都是某二平面的 公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论 例 2已知：a，b，c，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d 共面 证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a，b，c 相交于一点 A， 但 Ad，如图 1直线 d 和 A 确定一个平面 又设直线 d 与 a，b，c 分别相交于 E，F，
4、G，则 A，E，F，G A，E，A，Ea，a同理可证 b，c a，b，c，d 在同一平面 内 2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图 2 这四条直线两两相交，则设相交直线 a，b 确定一个平面 设直线 c 与 a，b 分别交于点 H，K，则 H，K 又 H，Kc，c同理可证 da，b，c，d 四条直线在同 一平面 内 说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理 3 或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理 1 证明其余的线(或点)均在 这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每 D CB A E F H G
5、 G b ad cG F E A 图 1 a b c d HK 图 2 一句话的含义 例 3如图，点 A，B，C 确定的平面与点 D，E，F 确定的平面相交于直 线 l，且直线 AB 与 l 相交于点 G，直线 EF 与 l 相交于点 H，试作出平面 ABD 与平面 CEF 的交线 解：如图 3，在平面 ABC 内， 连结 AB， 与 l 相交于点 G， 则 G平面 DEF； 在平面 DEF 内，连结 DG，与 EF 相交于点 M，则 M平面 ABD，且 M 平面 CEF所以，M 在平面 ABD 与平面 CEF 的交线上同理，可作出点 N，N 在平面 ABD 与平面 CEF 的交线上连结 MN
6、，直线 MN 即为所求 例 4如图，已知平面 ，且 l设梯形 ABCD 中，ADBC，且 AB，CD，求证： AB，CD，l 共点（相交于一点） 证明 梯形 ABCD 中，ADBC，AB，CD 是梯形 ABCD 的两条腰 AB，CD 必定相交于一点，设 ABCDM 又AB，CD，M，且 MM 又l，Ml，即 AB，CD，l 共点 说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理 2，这与证明多点共线是一样的 四课后作业：四课后作业： 1在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点HGFE,，如果EF与HG相交于一点M，那么（ A ） ( )A M一定在直线AC上 ( )B M一定在直线BD
7、上 ( )C M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 ()D M既不在直线AC上，也不在直线BD上 2有下列命题： 空间四点中有三点共线，则这四点必共面；空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共 面；用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；垂直于同一直线的两直线平行两组对边相等 的四边形是平行四边形其中正确的命题是 答案： 3一个平面把空间分成_2_部分，两个平面把空间最多分成_4_部分，三个平面把空间最多分成 _8_部分 4四边形ABCD中，1=BDDACDBCAB，则成为空间四面体时，AC的取值范围是 答案：)3, 0( 5如图，P、Q、R 分别是四面体 ABCD 的棱 AB，AC，AD
8、 上的点， 若直线 PQ 与直线 BC 的交点为 M， 直线 RQ 与直线 DC 的交点为 N， 直线 PR 与直线 DB 的交点为 L，试证明 M，N，L 共线 证明：易证 M，N，L平面 PQR，且 M，N，L平面 BCD， 所以 M，N，L平面 PQR平面 BCD，即 M，N，L 共线 6如图，P、Q、R 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AA1，BB1， DD1上的三点，试作出过 P，Q，R 三点的截面图 作法作法 连接 PQ，并延长之交 A1B1的延长线于 T； 连接 PR，并延长之交 A1D1的延长线于 S； 连接 ST 交 C1D1、B1C1分别于 M，N，则线段 MN
9、 为平面 PQR 与面 A1B1C1D1的交线 E BA D F C E B A l 例 3GH D F C M A1 A BB1DD1 CC1R R Q P D CBAl例 4 M MA B C D M N L P Q R A1AB B1 DD1C C1 ST R R Q P 图 4 NM 连接 RM，QN，则线段 RM，QN 分别是平面 PQR 与面 DCC1D1，面 BCC1B1的交线 得到的五边形 PQNMR 即为所求的截面图（如图 4） 说明说明 求作二平面的交线问题，主要运用公理 1 解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点 有时同时还要运用公理 2、3 及公理的推论等知识
10、 7如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1的中，A1C1B1D1O1，B1D平面 A1BC1P 求证：PBO1 证明证明 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， B1D平面 A1BC1P，P平面 A1BC1，PB1D B1D平面 BB1D1DP平面 A1BC1，且 P平面 BB1D1D P平面 A1BC1平面 BB1D1D， A1C1B1D1O1，A1C1平面 A1BC1，B1D1平面 BB1D1D， O1平面 A1BC1，且 O1平面 BB1D1D 又 B平面 A1BC1，且 B平面 BB1D1D， 平面 A1BC1平面 BB1D1DBO1PBO1 说明说明一般地，要证明一个点在某
11、条直线上，只要证明这个点在过 这条直线的两个平面上 A1 A B B1 DD1 CC1 O1 P第二节第二节 空间直线空间直线 一复习目标：一复习目标： 1了解空间两条直线的位置关系 2掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长 二课前预习：二课前预习： 1下列四个命题： （1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面 （4）若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面 其中真命题个数为 （ D ） ( )A3 ( )B2 ( )C1 ()D0 2在正方体ABCDDCBA中，
12、M、N分别是棱AA和AB的中点，P为上底面ABCD的中 心，则直线PB与MN所成的角为（ A ） ( )A300 ( )B450 ( )C600 ()D90 3在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为_ _（答案：a22） 4两条异面直线a、b间的距离是 1cm，它们所成的角为 600，a、b上各有一点 A、B，距公垂线 的垂足都是 10cm，则 A、B 两点间的距离为_ _ 答案：cmcm301101或 三例题分析：三例题分析： 例 1 已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，aA，aB，bC， cD，求证：AD与BC是异面直线 证一：（反证法）假设 AD 和 BC 共面，所确定的平面
13、为 ，那么点 P、A、 B、C、D 都在平面 内，直线 a、b、c 都在平面 内，与已知条件 a、b、 c 不共面矛盾，假设不成立，AD 和 BC 是异面直线。 证二：（直接证法）ac=P，它们确定一个平面，设为 ，由已知 C 平面 ，B平面 ，AD平面 ，BAD，AD 和 BC 是异面直线。 例 2 一条长为cm2的线段AB夹在互相垂直的两个平面、之间，AB 与所成角为045，与所成角为030，且l=，lAC， lBD，C、D是垂足，求（1）CD的长；（2）AB与CD所成的角 解：（1）连 BC、AD，可证 AC，BD，ABC=300， BAD=450 ，RtACB 中，BC=ABcos30
14、0=3 ， 在 RtADB 中，BD=ABsin450=2 在 RtBCD 中，可求出 CD=1cm（也可由 AB2=AC2+BD2+CD2-2ACBDcos900求得）（2）作 BE/l， CE/BD，BECE，则ABE 就是 AB 与 CD 所成的角，连 AE，由三垂线定理可证 BEAE，先求出AE=3，再在 RtABE 中，求得ABE=600。 说明：在（3）中也可作 CHAB 于 H，DFAB 于 F，HF 即为异面直线 CH、DF 的公垂线，利用公式 CD2=CH2+DF2+HF2-2CHDFcos，求出 cos=33。 四课后作业：四课后作业： 1AB、CD 在平面 内，AB/CD，且 AB 与 CD 相距 28 厘米，EF 在平面 外，EF/AB，且 EF 与 AB 相距 17 厘米，EF 与平面 相距 15 厘米，则 EF 与 CD 的距离为（
