量子力学相位因子

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1、评 述量子力学相位因子3李 华 钟?中山大学高等学术研究中心及物理系 广州 ?/量子化?对称和相位因子) ) ) ?世纪物理学的主旋律0) ) )引自杨振宁在中国科学院成立?周年大会上的学术报告摘 要 文章以电磁场为例说明规范场和相位因子的关系?说明相位因子何以是?世纪物理学的主旋律之一?文章就目前文献或教材中流行着的一些量子力学相位概念作分析?指出必须区分清楚不可积相位和可积相位?文章还专门讨论了不可积相位的概念及其重要性?关键词 相位因子?不可积相位?量子几何相位 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 2? 2? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 香港中山大学高等学术研究中心基金资助项目? ? ? ? ?收到初稿? ? ? ? ? ?修回? 相位因子量子力学基本

4、的物理量是波函数?波函数7? ? ?是一个实数时间空间参量? ?的函数?其复数形式写成模?7? ?和相位因子?的乘积?即7? ? ? ? ?7? ? ? ?从量子力学的初等原理已经知道?作为与实验结果联系?最重要的是?7? ? ?一般称其为在某一瞬时?在空间与 ? 间测到粒子的几率密度?7? ? ?是相应粒子的波函数?迄今量子力学已经在实践中验证了?多年了?人们可以说对于波函数相当清楚了解了?知道计算它的方法和它的物理意义?但是仔细地考虑一下?可以发现?一本量子力学参考书可以写上千页?仍然是不完备的?因为量子力学仍然在发展中?尤其是近?年来? ?世纪初期出现的量子理论经过一个世纪锤炼?到?世纪

5、末却忽然呈现了物理基础最引人注目的发展?这就是?过去我们对量子力学的了解几乎大部分是对波函数幅的了解?对波函数的相位因子虽也有一般的知识?可是远未足够深入?几乎到最近十多年才发现?原来还有不少奇妙的现象和应用前景?足以构成?世纪物理学的重要发展和促成?世纪技术的重要发明?这些问题大都与波函数的相位因子有关?举例来说?量子霍尔效应的分数统计和分数电荷态?原子或分子物质波原子激光的产生和干涉的应用技术?量子几何相位!量子纠缠态及导致的量子计算和量子信息原理和技术?这些都是当今物理学界人士所耳熟的?虽然我们知道所有这些都与波函数的相位因子有关?#?#物理然而?实际我们对这个相位因子从根本来说所知甚少

6、?量子力学中一般力学量的算子对易关系都可以很清楚地确定?而波函数相位作为一个力学量的算子表示?迄今还不是已经公认确定无疑?相位的绝对值和瞬时值迄今还不是人们的兴趣?我们只知道相位差有物理意义?一般我们熟悉的物理量只与粒子初态末态有关?这就是所谓状态函数?有一种相位差不只依赖初末态?而且与初末态之间的整个过渡过程有关?虽然依赖路径的相位因子早在?年就已经被狄拉克阐述?可是到?世纪?年代中期人们才确实认识到它的重要性?就是几何相位?对量子几何相位认识的历史?以及它在今天仍然被某些人误解?这正好表明了我们对相位和相位因子的了解多么肤浅和贫乏?事实上?这种依赖过程的相位因子展示了量子力学在过去长期被忽

7、视而又长期争论的隐蔽的一面?即整体或称拓扑?或称大范围的性质? ? ? ? 2?效应?就是一著名的例子?这也是波函数相位因子的效应?与波函数的幅的效应不同?这一现象一直争论了近?年?到?年后才获得物理学界的一致认同?这一效应表明在有磁通贯穿的平面上?带电粒子即使不受到任何电磁力的作用?它的相位却受到电磁势的影响?这些影响依赖于带电粒子取用的路径?粒子相位因子对于路径不同的同伦类? ? ? ? ?取不同的值?现在大学生的量子力学教科书都写入了? ? ? ? 2? ? ?效应?简称? ? ?效应? ?人们已经充分注 意到? ? ?效应揭示两点基本的物理概念的变革?一是电磁矢量势并非一个数学的简写或

8、工具?它有物理效果?有物理意义?二是波函数相位除了粒子的力场和场作用可以施以影响产生变化外?在无力场作用下?它与电子在运动的空间的拓扑结构有关?电子运动的运动学? ? ? ? ? ? ? ?拓扑结构决定电子波函数相位?量子几何相位也就是? ? ? ? ? ?相位的族类? 电磁场和相位因子由于上面所讲的相位性质?电磁学可以完全改写成另外一种形式?吴大峻? ? ? ?和杨振宁? ? ?发现?见? ? ?年第?卷第?页? ?电磁学的电磁场强度?不足以完整描述电 磁现象?如用电磁势?则过量地描述? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?电磁现象?这就是说?根据? ? ?效应所展示?有些物理现象如?

9、 ? ?效应不是电磁场强度所能描述的?电子在不受电场磁场的作用下?仍然可以有相位改变?即还需要有矢量势来描述电子波函数相位的改变?但是许多个不同的矢量势却得出同一的物理描述?因为对于规范变换?电磁现象不变?由规范变换联系的矢量势的物理效应是相同的?所以的描述中含有多余的因素?采用相位因子5? ? ?就能去除掉这些多余的东西?相位因子能 够不多不少!恰好完整地进行描述?因为相位因子对于的规范变换不变?这一发现现在还没有被许多物理教学工作者所熟识?我们相信这一发现的影响将会是十分深远的?相位因子怎样去描述电磁现象?现在知道的办法是利用/环路相位因子0 ?例如我们要讨论区域里的电磁现象?的边界为?设

10、想将划分为许多个小区域?如图?所示?在区内选取某一个小区 ?它的边界为 ?构造一个环路积分 ? ? ? ?式中? ? ?是这一小区内某瞬时在空间位置的矢量势?小区的边界环路是 ?再构造一个相因子5? ? ? ? ? 我们研究小区内任意一点上的相因子5? ? ? ? ? ? 设令取定后?小区划分?再划分?愈来愈小?但路径包含点?即环路积分所包围面积 ? ? ? ? ? ? ? # ?环路收缩到位于一点的无穷小路径?而环路不包含奇异点?或者说环路可收缩为一点?5?所描述的物理意义如?式所示?等价于磁场强度? ?如果在处为一奇异点?例如是一场源或电 荷?磁荷?所在?环路包含了奇异点?则环路不能收缩为

11、一点?这时?式不成立?这时5?所给出的便不是场强所等价的了?如果?环路包含了磁通?这时5就描述了? ? ?效应?我们注意到5就是上文所说的相位因子?5是对规范变换 ? ? 不变?在环路积分下? ? ?所以它取消了由于规 范变换不变引起的矢量势的多余信息?由上可见?环路相位因子可以用来描述电磁现#?#?卷?年? ?期图? 环路相位因子描述?为空间任一点?可在之内或外?处可以有磁通穿过?象?它包含了场强 ?所描述的信息?它又包含了矢量势描述的信息?它既补足了场强描述的不足?又去除了矢势描述的多余成分?当环路不包含着场源时?相位因子称为可积的?当环路包围着场源时?相位因子称为不可积的?我们应注意?要

12、完整描述全体空间各点的电磁场?需要取一切可能的环路?所以说?所有的相位因子? ? ?在所有环路上完整地描述了电磁场?对于电磁现象或者说阿贝尔规范场来说?据目前所知?环路积分?或场强描述或矢势描述都只是数学形式的不同?但是如果实验上发现磁单极的存在?那就肯定环路积分可以包括对磁单极的描述?把纤维丛数学引入到物理学?磁单极问题?从实验方面来看是悬而未决的问题?从理论上来看则是量子力学相位理论的一个自然的结果?近代和现代物理学中?有两位伟大的理论物理学家?他们一再强调量子力学波函数相位的重要性和我们对相位的知识贫乏?他们是狄拉克? ? ? ? ? ? ? ? ?和杨振宁?早在?年?狄拉克便从波函数相

13、 位十分一般的性质和物理学的基础原则出发?用严密的逻辑?论证了量子力学框架中电磁对称的合理存在?量子力学框架容许存在单个磁荷?已存在的理论不出现内部矛盾?现有理论也不必引入更多的新的元素?这一观点在物理学界中时隐时现地游弋了?年?迄今实验还未发现单磁荷?狄拉克本人在晚 年却倾向否定自己几十年来所持的观点?而转向支持磁单极不存在的观点?但是他仍然坚持量子力学相位因子的重要意义?甚至把相位因子看成是比量子力学算子对易关系更为基本的东西? 作者感谢葛墨林教授对这一信息的讨论磁单极虽未被实验发现?但磁单极场这种类型的作用则是已经存在于原子分子的结构内部之中?磁单极如果一旦被实验发现?那固然是人类对于自

14、然界认识的一次突破?但即使磁单极不存在于自然界?那么给予的理解也可能是人类对自然界认识的又一次飞跃?因为大自然禁戒了某些理论上合理的存在?往往暗示着有很根本的新的自然规律在起作用?虽然暂时我们对这新的规律还未认识?但禁戒的存在揭示着人们要探求的目标和方向?弱电统一作用的希格斯? ? ? ?粒子也经过了三四十年的探索而仍未发现?如果? ? ?粒子果真不存在?那么弱电统一的标准模型将面临严重的挑战?弱电理论将会大大地深化?突破现有的框架?磁单极也是类似的道理?需要注意?上述的电磁描述?本来是经典电磁场的描述?现在如果引入不可积的相位因子描述?自然就引入了电子与电磁场的相互作用?即引入了电磁规范场?这种描述一开始就从电子的量子力学波函数开始?从这个角度看?电子与电磁场的相互作用从根本上说是量子理论?只有量子理论才能完整而惟一地确定电子与电磁场相互作用?电子波函数7? ?7?我们上面讲过?时空某点的相位没有物理意义?不是可观察量?一般来说?我们感兴趣的是相位差?严格地说?相位差有? ?的不定因子也不是可观