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1、近世代数教案近世代数教案西南大学 数学与统计学院 张张广祥广祥2学时数：学时数：80（每周 4 学时）使用教材：使用教材：抽象代数理论、问题与方法，科学出版社 2005教材使用说明：教材使用说明：该教材共 10 章，本课程学习前 6 章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞近世代数基础 ）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后 4 章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二） ，则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。教学方法：教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每 2
2、周一次参加教学的教师集体研讨备课。每节配有 35 题常规练习作业。每章提供适量的（34 题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。整学期可安排 12 次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与 Goldbach 猜想。教学手段：教学手段：黑板板书与 Powerpoint 课件相结合。主要参考书：主要参考书：1张禾瑞,近世代数基础,1952 第一版,1978 年修订版,高等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(面向 21 世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,19993.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社 2002
3、4.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964 卷 1,1976 卷 2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷 1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社 20023第二章第二章 数环与数域数环与数域本章教学目标：本章教学目标：1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange 四平方和定理。5. 本章通过若干数论定
4、理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第 3 章与第 5 章学习系统的扩域理论奠定基础。教学时数：教学时数：共 6 节，8 学时2.12.1 整数剩余类环整数剩余类环复习引入：复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道同余类方法是数论的基本工具，另一方面整数剩余类环也是一类重要的数环。内容要点：内容要点：41. 整数剩余类环的定义及基本性质。2. 环同态定义、理想定义、环同态基本定理。3. 整数剩余类环是整数环的同态像。讲授内容：讲授内容：整数的整除性是整数最重要的性质，它是数论研究的一个重要的内容。整除性问题常常是数论中的困难问题。法国数学家费马（P
5、ierre de Fermat，1601-1665）曾经认为形如22n+1 的数都是素数，直到大约 100 年之后522+1 的一个非平凡因子 641 才被数学家欧拉（Leonhard Euler，17071783）发现，欧拉得到分解 232+1=4294967297=6416700417，可见整数的整除问题具有一定的难度。研究整数整除性的一个重要工具是带余除法。对于两个整数 a，b（b0）存在整数 q，r 使 a=qb+r 且 0rb。式中 q 称为商，r 称为余数。在整除性问题中我们主要关心余数，而不关心商。因此有下面的同余概念。定义 1 假定 m 是一个正整数，两个整数 a 与 b 如果
6、满足条件 mab，则称 a 与 b 模 m 的同余，记为 ab(m)。由 1.2 节知模 m 同余是整数集 Z 上的一个等价关系，其商集记为 Zm，其元素记为a，称之为模 m 的一个剩余类。定义 Zm上的加法与乘法运算：a+b= a+bab=ab容易知道上面的加、乘运算的定义与剩余类中代表元的选法无关，即当a=a1， b=b1时a+b= a1 + b1，ab= a1b1。定理 2.1.1 Zm成为一个环。该定理证明没有太多困难，仅仅是按定义作常规验证。证明留给读者作为练习。Zm称为模 m 剩余类环，这是一个包含 m 个元素的有限环。我们也可以把它看成一个有限数系。借助环 Zm常常可以简化整数中
7、的计算问题，特别是整除性问题。5例 Z2仅含两个元0与1，每个偶数与 0 同余，每个奇数与 1 同余。如果我们用0代表偶，1代表奇，则剩余类环 Z2中的运算实际上表示了整数运算的奇偶性法则：奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶奇奇=奇，奇偶=偶，偶偶=偶定义 2 设 R 与 S 是两个环，映射：RS 若满足条件：对每 a，bR 有(a+b)=(a)+(b)，(ab)=(a)(b)，则称为环同态。若是满映射，则称为满同态；若是单映射，则称为单同态；若是既单又满的环同态，则称为环同构。满同态记为 ：R S环同构记为 ：R S定义 3 两个域同态或同构是指它们作为环同态或同构。定理 2.1.2 定义映
8、射：ZZm使(a)=a，则是环同态。证 证明十分简单，略去。为了进一步讨论整数剩余类环的性质，我们先证明一个整数方面的定理。定理 2.1.3 两个整数 a、b 互素的充分必要条件是存在整数 s、t 使sa+tb=1。证 如果条件 sa+tb=1 成立，则 a、b 互素，因为这时 a，b 的公因子dsa+tb=1，d=1。反过来假定 a、b 互素，不妨设 a 与 b 都是正整数。对 a+b 作归纳。由带余除法，存在整数 q、r 使 a=qb+r 且 0rb。如果 r=0，则 b|a，但因 a、b 互素，故 b=1，当然存在整数 s、t 使 sa+tb=1。如果 r0，则 b，r 互素。由归纳存在
9、整数 s1，t1使 s1b+t1r =1，于是 t1a=t1qbt1r =t1qb1s1b。因此 t1a(s1t1q)b=1，定理得证。定理 2.1.4 若 p 是素数，则 Zp 是域。证 只要证明 Zp 中的非零元素集成为一个乘法群。设a0，由定理 2.1.3存在整数 s，t 使 satp=1，于是sa=1，说明s是a在 Zp 中的逆元素，因而Zp 中的全体非零元素集组成一个乘法群。6注：Zp 是我们过去在代数中未遇到过的有限域。像整数模 n 剩余类环一样，对于一般的环也可以作剩余类环。为此我们引入一个在环论研究中十分重要的定义，这个定义称为“理想”。定义 4 设 R 是一个环，A 是 R
10、的一个子环，如果 A 满足下面条件：对每 rR 有 rA，Ar A，其中 rA= ra | aA ，Ar= ar | aA ，则称 A 是 R 的理想。如果 A 是 R 的理想，定义 R 上的一个二元关系 ab 当且仅当 a-bA。容易检验 是 R 上的一个等价关系，商集合记为= R/A。的元记为r=r+A， RR定义上的运算 a+b=a+b，ab=ab。这样成为一个环，称之为模 A 剩RR余类环。我们有下面的同态基本定理定理 2.1.5 （1）假定 R 与是两个环，并有环同态 ：R，则 A= rR RR| =是 R 的理想，且有环同构R/A。roR上面的 称为自然同态，记 A=ker，称之为
11、同态的核。（2）反之，若 A 是 R 的理想，则有环同态 RR/A=。R证 （1）对每 a、bA，（a-b）=-=，故 a-bA，说明 A 是一个加群。a b0进一步若 rR，aA，则（ra）=，raA，同样 arA。因此 A 是 R 的理ra0想。容易验证： r+A 是环同构R/A。rR（2）容易知道映射：RR/A 使（r）= 是环同态。r思考问题思考问题 4 问定理 2.1.2 中环同态：ZZm的同态核 A=？解答：同态核 A=(m)=am | aZ，因此由定理 2.1.5 ZmZ/(m)。练习作业练习作业 1. 设 m 是一个正整数，证明同余的性质(1)若 ab(m)，c=d(m)，则
12、acbd(m)(2)若 ab(m)，c=d(m)，则 acbd(m)7(3)若 ab(m)，则 adbd(m)(4)若 adbd(m)，且(d，m)=1，则 ab(m)2. Z 是整数环，2Z=2aaZ在整数运算之下成为一个环，可以称它为偶数环，：a2a 是 Z2Z 的一个映射，问是不是环同构？3. 设 R 是一个有单位元的环，a，bR，证明 1ab 可逆当且仅当 1ba 可逆。4. 假定 R 是一个交换环，证明 A=aR| 存在某个正整数 n 使 an=0是 R 的一个理想。这个理想称为幂零元理想。2.22.2 整环的分式域整环的分式域复习引入：复习引入：上节我们从整数环出发，构造整数模 n
13、 剩余类环Zn，由同态基本定理，剩余类环 ZnZ/(n)。这样，我们实际从一个无限数系得到一有限数系。有限数系 Zn在数论研究中有重要价值。数系发展的另一个方向是从整数系统构造出分数系统，既有理数系统。本节我们将把这样的数系扩充推广到一般的整环上。内容要点：内容要点：1. 证明整环嵌入分式域定理。2. 整环的分式域是包含这个整环的最小域。3. 了解一些常见整环分式域的实例。讲解内容：讲解内容：在数系发展的历史上，由整数系到有理数系的扩展是最简单、最容易被认识的一次，这种数系的扩展理论作为“比与比例论”是由古希腊数学家 Eudoxus 建立的，并被收入欧几里德(Eudid)几何原本的第五卷。8两
14、个可公度的量 a 与 b 可以通过下面的方法来比较。选定一个(足够小的)公共单位量，使量 a 是单位量的整数倍，b 也是单位量的整数倍。在这一观点之下，量 a 与 b 实际都可认为与一个整数对应。现在量 a 与 b 的比就是两个整数的比a/b。Eudoxus 发现这种“比”可以进行运算，其运算法则是(1) ba bnan(2) bdbcad dc ba(3) bdac dc ba上面这种整数的“比例论”实际上就是有理数系的代数理论。Eudoxus 的比例论启发我们可以用类似的“比例论”方法把一个具有与整数环性质相当的环扩展成为一个域。由此我们有下面的整环的定义。定义 1 设 R 是一个环，对
15、R 的每两个非零元 a、b，如果 ab=0 则 a 称为 R的左零因子，b 称为 R 的右零因子。当 R 是交换环时零因子没有左、右的区别。一个有单位元的交换环若没有零因子，则称为整环。例 整数环当然是整环；域上的多项式环也是整环；Zn是整环当且仅当 n 是素数。定义 2 设 R 是一个环，S 是 R 的一个非空子集，如果 S 在 R 的加法与乘法运算之下也成为一个环，则 S 称为 R 的子环，我们说一个环 S1可以嵌入环 R，是指环 S1与 R 的一个子环 S 同构。下面的定理与 Eudoxus 的比例论相当。定理 2.2.1 每一个整环都可以嵌入一个域。证 证明分为以下三步(1)设已知的整环为 R。作集合 A=(a，b)a，bR，b0。定义 A 上的关系(a，b)(c，d)当且仅当 ad=bc，容易验证这是一个等价关系。记 F 为 A 的等价类作成的集合，把 F 的元素表为a b，定义 F 上的运算a b+c d= adbc bd;a b.cac dbd 容易验证上面的运算与等价类代表元的取法无关，即如果911a b=a b,11c d=c d则 11a b+11c d=a b+c d, 11a b.11c d=a b.c d.(2)验证 F 在上面定义的运算之下成为一个域。首先
