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1、新课标高中理科数学基础总结第 1 页(共 17 页) 2 20 01 12 2 年年 新新 课课 标标 高中数学高中数学( (理科理科) )基础知识基础知识 一一. .集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1 1. .注意区分集合中元素的形式.如： |lg x yx函数的定义域； |lg y yx函数的值域； ( , )|lg x yyx函数图象上的点集. 2 2. .集合的性质： 任何一个集合A是它本身的子集,记为AA. 空集是任何集合的子集,记为A . 空集是任何非空集合的真子集； 注意:条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况 如 ：012|2xaxxA, 如 果ARI,求a的取值.(答：0a
2、 ) ()UUUCABC AC BIU,()UUUCABC AC BUI；ABCABC（）（）IIII； ABCABC（）（）. ABAABBIUUUABC BC AUAC BIUC ABR. AB元素的个数：()()cardABcardAcardBcardABUI. 含n个元素的集合的子集个数为2n；真子 集(非空子集)个数为21n；非空真子集个数为 22n. 3 3. .补集思想补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂 的有关问题。 如如：已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在 区 间 1 , 1上至少存在一个实数c,使 0)(cf,求实数p的取值范围.(答：32( 3,) 4 4.
3、 .原命题: pq；逆命题: qp；否命题: pq ；逆否命题: qp ；互为逆否的 两 个命题是等价的.如： “sinsin”是 “” 的 条件.(答： 充分非必要条件) 5 5. .若pq且qp,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件). 6 6. .注意命题pq的否定否定与它的否命题否命题的区别: 命 题pq的 否 定否 定 是pq； 否 命 题否 命 题 是pq . 命题“p或q”的否定是“p且q” ； “p且q”的否定是“p或q”. 如如： “若a和b都是偶数，则ba 是偶数”的 否命题是“若a和b不都是偶数,则ba 是奇 数” 否定是“若a和b都是偶数,则ba 是奇 数
4、”. 7 7. .常见结论的否定形式 原结论 否定 原结论 否定 是 不是 至 少 有 一个 一个也没 有 都是 不都是 至 多 有 一个 至少有两 个 大于 不大于 至 少 有 n个 至 多 有 1n个 小于 不小于 至 多 有 n个 至 少 有 1n个 对所有x, 成立 存在某x, 不成立 p或q p且q 对任何x, 不成立 存在某x, 成立 p且q p或q 新课标高中理科数学基础总结第 2 页(共 17 页) 二二. .函数函数 1.1.映射f:AB是： “一对一或多对一”的对应；集合A中的元素必有象且A中不 同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集B). 2.2.
5、函数f: AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图 像与x轴 的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3 3. .函数的三要素： 定义域,值域,对应法则.研究 函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0; 偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数 0 且1；零指数幂的底数0)；实际问题有意义；若( )f x定义域为 , a b,复合函数 ( )f g x定义 域由( )ag xb解出；若 ( )f g x定义域为 , a b,则( )f x定义域相当于 , xa b时( )g x的值域. 5
6、.5.求值域常用方法: 配方法(二次函数类)； 逆求法(反函数法)； 换元法(特别注意新元的范围).三角有界 法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函 数有界性来求值域；不等式法单调性法； 数形结合： 根据函数的几何意义,利用数形结 合的方法来求值域； 判别式法（慎用） ： 导数法(一般适用于高次多项式函数). 6 6. .求函数解析式的常用方法： 待定系数法(已 知所求函数的类型)； 代换(配凑)法；方 程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。 7 7. .函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是 关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法
7、、 图 像法等； 若( )f x是偶函数,那么()()(|)fxfxfx； 定义域含零的奇函数必过原点(0)0f)； 判断函数奇偶性可用定义的等价形式：( )()0f xfx或()( )1( ( )0)fxf xf x (4)奇函数在对称的单调区间内有相同的单 调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单 调性； (5)确定函数单调性的方法有定义法、导数 法、图像法和特值法(用于小题)等. (6)复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如如：函数1 22log (2 )yxx的单调递增区间是_.(答：(1,2) 8.8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右 平移-“左
8、加右减” （注意是针对x而 言） ； 上下平移- “上加下减” (注意是针对( )f x而 言 ). 翻 折 变 换 ：( )|( )|f xf x；( )(|)f xfx. 对称变换： 证明函数图像的对称性,即证图像上任意 点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. 证明图像1C与2C的对称性,即证1C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C上,反之亦然. 函数( )yf x与()yfx的图像关于直线0x (y轴 ) 对 称 ；函 数( )yf x与 函 数()yfx的图像关于直线0y (x轴)对称； 若 函 数( )yf x对xR时 ，()()f axf ax或( )(2)f xfax恒成
9、立,则( )yf x图像关于直线xa对称； 新课标高中理科数学基础总结第 3 页(共 17 页) 若( )yf x对xR时,()()f axf bx恒成立,则( )yf x图像关于直线 2abx对称； 函数()yf ax,()yf bx的图像关于直线 2bax对称(由axbx确定)； 函数()yf xa与()yf bx的图像关于直线 2abx对称； 9 9. .函数的周期性： 若( )yf x对xR时()()f xaf xa恒成立,则 ( )f x的 周期为2| | a； 若( )yf x是偶函数,其图像又关于直线xa对称,则( )f x的周期为2|a； 若( )yf x奇函数,其图像又关于直
10、线xa对称,则( )f x的周期为4|a； 若( )yf x关于点( , 0)a,( ,0)b对称,则( )f x的周期为2|ab； ( )yf x的图象关于直线xa,()xb ab对称,则函数( )yf x的周期为2|ab； ( )yf x对xR时 ,()( )f xaf x或1( )() f xf xa ,则( )yf x的周期为2|a； 1010. .对数：loglogann abb(0,1,0,)aabnR； 对数恒等式log1,log10aaa ,log(0,1,0)aNaN aaN； log ()loglog;logloglog;loglogn aaaaaaaaMNM NMNMNM
11、nM； 1loglogn aaM nM； 对数换底公式logloglogbbaNaN (0,1,0,1)aabb； 推论：121123logloglog1loglogloglog nabcaaananbcaaaaa . (以上120,0,0,1,0,1,0,1,0nMNaabbcca aa且12,na aa均不等于1) 1111. .方程( )kf x有解kD (D为( )f x的值域)； ( )af x恒成立 ( )af x最大值, ( )af x恒成立 ( )af x最小值. 1212. .恒成立问题的处理方法：分离参数法(最 值法)； 转化为一元二次方程根的分布问题； 1313. .处理
12、二次函数的问题勿忘数形结合； 二次函 数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看 法” ： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相 对位置关系； 14.14.二次函数解析式的三种形式： 一般式：2( )(0)f xaxbxc a；顶点式： 2( )()(0)f xa xhk a； 零 点 式 ：12( )()()(0)f xa xxxxa. 1515. .一元二次方程实根分布:先画图再研究 0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 1 16 6. .复合函数： 复合函数定义域求法： 若( )f x的定义域为 , a b,其复合函数 ( )f g x的定义域可由不等式( )ag xb解出；若 (
13、)f g x的定义新课标高中理科数学基础总结第 4 页(共 17 页) 域为 , a b,求( )f x的定义域，相当于 , xa b时,求( )g x的值域；复合函数的单调性由“同增异减”判定. 1717. . 函 数(0 ,0 )bxya xab： 增 区 间 为(, , ,)bbaa ,减区间为,0),(0bbaa. 如：已知函数12( )axxf x在区间( 2,) 上为增函数,则实数a的取值范围是_(答：12( ,). 三三. .数列数列 1.1.由nS求na,1* 1(1)(2,)n nnS naSSnnN注意验证1a是否包含在后面na的公式中,若不符合要单 独 列 出 . 如 ：
14、 数 列na满 足111534,nnnaSSa，求na(答：14(1) 34(2)nnnan). 2.2. 等 差 数 列1nnnaaad(d为 常数)112(2,*)nnnaaannN 2 1122(,)(,)nnddaanb ad badSAnBn ABa； 3.3.等差数列的性质： ()nmaanm d,mnaamnd； mnlkmnlkaaaa (反之不一定成 立 ) ； 特 别 地 , 当2mnp时 , 有2mnpaaa； 若na、 nb是等差数列,则nnkatb(k、t是非零常数)是等差数列； 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” 即 232,mmmmmSSSSSL仍是等差数列； 等 差 数 列na, 当 项 数 为2n时,SSnd偶奇,1nnSaSa奇偶；项数为21n时, (*)nSSaa nN偶中奇,21(21)nnSna,且 1Sn Sn奇偶；( )(21)nnnnAaBbf nfn. 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差 数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解 不等式 100nnaa (或100nnaa ).也可用2 nSAnBn的二次函数关系来分析. 若,()nmam an mn
