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1、第 1 页 共 5 页基本不等式的证明及应用基本不等式的证明及应用 教学目标教学目标知识目标: :探索并了解基本不等式的证明过程，体会证)0,(2babaab明不等式的基本方法，能应用基本不等式解决一些简单问题，渗透数形结合和等价化归等数学思想.能力目标: :培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力.情感目标: :培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点、难点基本不等式（）及其证明.2baab0,ba教学过程教学过程一、一、问题情境问题情境1.1.有一架天平两臂之长略有差异，其他均精确，小王要用它来称一物体的重量，将
2、此物体放在左右两个托盘各称一次，再将称的的数据相加后，除以 2所得的结果就认为是物体的真实重量，你认为小王所测量结果是否准确？如果不准确，比真实重量是重还是轻？你能给小王提供一种用这架天平称量此物体真实重量的方法吗？2.2.引入课题设第一次称量时，放物体一边的臂长为,另一边的臂长为,称得物体的1l2l重量为，第二次称得物体的重量为，用小王的方法所得的结果为,ab2baA这样合理吗？事实上，设物体的实际质量为，根据力学原理有M， alMl21， alMl12相乘再除以，可以得到21ll.abM 第 2 页 共 5 页问题：与是否相等？若不相等，大小关系又怎样？2baAabM 二、学生活动二、学生
3、活动1.1.对于非负数，称为、的算术平均数，为、的几何ab2ba ababab平均数.2.2.学生分组讨论.3.3.学生通过取一些具体数据进行探究.a30599270251120b399923995410020ab34.2176.434683.2536.7433.17202ba 34.57957.584.539.555.5204.4.猜想：若，当时，; ;当时,0a0bba 2baabba ；当，时，很明显；当时，无意2baab0a0b2baab0abab义.5.5.初步结论：如果，那么成立.0a0b2baab点评：点评：诱发学生深入思考问题，教会学习、研究的方法从特殊到一般是科学探求未知的有
4、效手段.三、建构数学三、建构数学1.1.呈现课题：基本不等式的证明.引导学生分析、思考，给出基本不等式的证明，点评有关问题.2.2.基本不等式的证明：证法证法 1 1：（比较法）abba 2=2)()(2122baba=.0)(212ba证法证法 2 2：（分析法）要证 ，2baab第 3 页 共 5 页只要证 ，baab2只要证 ，02baba只要证 ，0)(2ba只要证最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当2baab时取“=”.ba 证法证法 3 3：（综合法）对于正数 a、b 有0)(2ba02abbaabba2abba 2点评：点评：（）由证明过程可以发现，当且仅当时，两个均值相等，并
5、ba 解释“当且仅当”两方面的含义.（）强调结论成立的条件：，都是非负数，并举反例加以说明.ab（）比较法、分析法、综合法都是证明不等式的基本方法.3.3.通过严格的证明，得到下列结论：定理：定理：如果、是正数，那么（当且仅当时取“=”）.ab2baabba 让学生根据右图，尝试给出上述基本不等式的几何解释，并思考这个基本不等式的其他证明方法.4.4.对的几何解释：2baab如图，在圆中：为圆的直径，弦OAB垂足为，由射影定理：，ABDD CaAC bBC CBACCD2，则弦；而直径弦.所以abCBACCDabDD2ABDD，变形得：，当点与圆心重合时，即时取等abba22baabCOba
6、号.第 4 页 共 5 页点评：点评：抓住时机，渗透数形结合思想，引导学生善于捕捉的暗示信息，从多方位、多角度去理解并掌握所学知识，提升思维的灵活性.5.5.教师点评：（1）这个基本不等式的几何解释，即“半弦半径”.（2）这个基本不等式可否推广到“个（，）非负数”的情形，n1nNn有兴趣的同学可以课后查阅有关资料.四、数学运用四、数学运用（一）（一）例题例例 1.1.已知、为正数，试证明下列不等式：ab（1）；（2）.2ba ab21aa分析分析：可直接应用基本不等式进行证明，并注意基本不等式的应用条件.证明：证明：（略）例例 2.2.已知函数，求此函数的最小值.216 xxy), 2(x分析
7、：分析：不能直接使用基本不等式，应将其变形为，并对前2216)2(xx两项使用基本不等式.解：解：（略）点评：点评：（1）在使用基本不等式求函数最值时，常需要将函数形式进行变形，以创造条件使用基本不等式.（2）在利用基本不等式求函数最值时，应注意“一正、二定、三相等”，即必须两个量都是正数（也可是非负数），才能直接使用基本不等式；要把函数式放缩到常数；等号才能取到.（二）（二）练习1.若，则有_值为_，此时0xxxxf3)(_；x2.若，则有_值为_，此时0xxxxf3)(_；x3.已知，且，求的最大值；0x0y2 yxxy第 5 页 共 5 页4.已知，且，求的最小值；0x0y1xyyx 5
8、.已知，求函数的最大值；20 x)2( xxy6.已知，求函数的最大值.320 x)32(xxy让学生板演，教师评析.做到师生互动；讲练结合.五、回顾小结五、回顾小结让学生回顾小结本节课所学内容及主要收获，教师总结.1.1.基本不等式及其证明.)0,(2babaab2.2.基本不等式的简单应用（证明不等式，求函数最值）.六、教学反思六、教学反思1.1.在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构.每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答.使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思
9、考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深，但实施落实的可能还不到位，有待改进.2.2.本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解.“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的.3.3.本课的设计是想通过师生课上的探索、互动学习，达到理解掌握知识的目的.在教师的引导和启发下，学生自己寻找、探求解决问题的途径是本节教学所采用的教学方式.课上学生学习热情很高，师生的互动非常好，出现了很多讨论问题的高潮.学生能够针对教师的问题进行充分的分析和讨论，而且通过讨论，学生对知识点的理解得到了深化，达到了掌握知识的目的.七、课后作业七、课后作业教材第 91 页习题 3.4 第 1，2，3，4，5 题.
