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1、1第第 3 3 章章 立立体体表表面面基基本本元元素素及及基基本本体体的的投投影影点、线、面是构成自然界中一切有形物体（简称形体）的基本几何元素，它们是 不能脱离形体而孤立存在的。基本体是指形状简单且规则的形体，任何机件都可以看 成是由若干个基本体组合而成的。因此，学习和掌握其投影特性和规律，能够为正确 理解和表达形体打下坚实的基础。 31 点点的的投投影影 点是最最基本的几何元素，为进一步研究正投影的规律，首先就要从点的投影开 始谈起。 311 点点的的三三面面投投影影及及其其规规律律 将空间点 A 放置在三投影面体系中，过点 A 分别作垂直于 H 面、V 面、W 面的 投影线，投影线与 H
2、 面的交点（即垂足点）a 称为 A 点的水平投影（H 投影）；投影 线与 V 面的交点 a称为 A 点的正面投影（V 投影）；投影线与 W 面的交点 a称为 A 点的侧面投影（W 投影）。 在投影图中，统一规定：空间点用大写字母表示，其在 H 面的投影用相应的小写 字母表示；在 V 面的投影用相应的小写字母右上角加一撇表示；在 W 面投影用相应 的小写字母右上角加两撇表示。如图 3-1a 中，空间点 A 的三面投影分别用 a、a、a表示。ZXYVHWVXZZXHWaaaxazayaa“aaa“aOOOYHYWAaxazayhaywazaxaywayha“a)b)c)图 3-1 点的三面投影按前
3、述规定将三投影面展开，就得到点 A 的三面投影图，如图 3-1b 所示。在点 的投影图中一般只画出投影轴，不画投影面的边框，如图 3-1c 所示。 在图 3-1a 中，过空间点 A 的两条投影线 Aa 和 Aa所构成的矩形平面 Aaaxa 与 V 面和 H 面互相垂直并相交，因而它们的交线 aax 、aax、OX 轴必然互相垂直且 相交于一点 ax。当 V 面不动，将 H 面绕 OX 轴向下旋转 90而与 V 面在同一平面时， a、ax、a 三点共线，即 aaxa 成为一条垂直于 OX 轴的直线，见图 3-1b。同理可证， 连线 aaza垂直于 OZ 轴。2在图 3-1a 中，Aaaxa是一个
4、矩形平面，线段 Aa 表示 A 点到 H 面的距离， Aa=aax。线段 A a表示 A 点到 V 面的距离，A a=aax；同理可得，线段 A a表 示 A 点到 W 面的距离，A a=aay。ay在投影面展开后，被分为 ayH和 ayw两个部分， 所以 aaYhOYH, aaywOYW。 通过以上的分析，可得出点的投影特性如下： （1）点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。 aaOX，即 A 点的 V 和 H 投影连线垂直于 X 轴； aaOZ，即 A 点的 V 和 W 投影连线垂直于 Z 轴； aaYhOYH，aaywOYW，oaYh=oayw （2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相
5、应的投影面的距离。 aax= aaz= A a,反映 A 点到 V 面的距离； aax= aayw=Aa, 反映 A 点到 H 面的距离； aaz= aaYh=Aa, 反映 A 点到 W 面的距离； 根据上述投影特性可知：由点的两面投影就可确定点的空间位置，故只要已知点 的任意两个投影，就可以运用投影规律求出该点的第三个投影。 【例例 3-1】 已知点 A 的水平投影 a 和正面投影 a，求其侧面投影 a，如图 3- 2a 所示。 解解: 作图步骤如下 （1）过 a引 OZ 轴的垂线 aaz，所求 a必在这条延长线上。 （2）在 aaz的延长线上截取 az a= aax，a即为所求。或以原点
6、O 为圆心， 以 aax为半径作弧，在向上引线，如图 3-2d 箭头所示；也可以过原点 O 作 45辅助 线，过 a 作 aaYHOYH并延长交所作辅助线于一点，过此点作 OYW轴垂线交 aaz于一 点，此点即为 a，如图 3-2e 箭头所示。XZaaOYWaxYHYHaywazaxYWOaaZXXZaa“aOYWaxazYHYHaywayhazaxYWOaa“aZXXaa“aOYWaxazayhaywYHa)b)c)d)e)图 3-2 求点的第三投影33 31 12 2 点点的的投投影影与与其其直直角角坐坐标标的的关关系系 若将三面投影体系中的三个投影面看作是直角坐标系中的三个坐标面，则三条
7、投 影轴相当于坐标轴，原点相当于坐标原点。如图 3-3 所示：空间点（，） 到三个投影面的距离可以用直角坐标来表示，即： 空间点到面的距离，等于点的轴坐标，即 空间点到面的距离，等于点的轴坐标，即 空间点到面的距离，等于点的轴坐标，即ZXYVHWZXaaaxazayaa“aOOYHYWazaxaywayha“A(x,y,z)xxzzyyyy侧A侧W侧侧侧侧侧A侧H侧侧侧侧侧A侧V侧侧侧侧a)b)图 3-3 点的投影与其直角坐标的关系由此可见，若已知点的直角坐标，就可以作出点的三面投影。而点的任何一面投 影都反映了点的两个坐标，点的两面投影即可反映点的三个坐标，也就确定了点的空 间位置。因而，若
8、已知点的任意两个投影，就可以作出点的第三个投影。 【例例 3-2】 已知点 A(50,40，45)，作其三面投影图。 解解: :作图步骤如下： （1）方法一 如图 3-4a 所示。 1) 在投影轴 OX、OYH和 OYW、OZ 上，分别从原点 O 截取 50、40、45mm,得点 ax、ayH和 ayW、az。 2) 过 ax、ayH、ayW、az点，分别做投影轴 OX、OYH、OYW、OZ 的垂线，就交得 A 点的三面投影 a、a、a。 （2）方法二 如图 3-4b 所示。 1）在 OX 轴上，从 O 点截取 50mm,得 ax点。 2）过 ax点作 OX 轴的垂线，在此垂线上，从 ax点向
9、下截取 40mm,得 a 点，从 ax 点向上截取 45mm，得 a点。 3）在 OYH和 OYW轴之间作 45辅助线，从 a 点作 OYH的垂线与 45线交得 ao点， 过 ao作 OYW轴垂线，过 a作 OZ 轴垂线，与过 ao点作出的 OYW的垂线交得 a点。4ZXaa“aOYHYWazaxaywayhayhaywaxazYWYHOaa“aXZa)b)图 3-4 已知点的坐标及其三面投影3 31 13 3 特特殊殊位位置置点点的的投投影影 1投影面上的点 当点的三个坐标中有一个坐标为零时，则该点在某一投影面上。如图 3-5a 所示， A 点在 H 面上，B 点在 V 面上，C 点在 W
10、面上。对于 A 点而言，其 H 投影 a 与 A 重合， V 投影 a在 OX 轴上，W 投影 a在 OYW轴上。同样可得出 B、C 两点的投影，如图 3- 5b 所示。ZXYVHWZXaaa“aOOYHYWAa“abbb“ccc“CBbbb“cc“ca)b)5图 3-5 投影面上的点2投影轴上的点 当点的三个坐标中有两个坐标为零时，则该点在某一投影轴上。如图 3-6a 所示， D 点在 X 轴上，E 点在 Y 轴上，F 点在 Z 轴上。对于 D 点而言，其 H 投影 d、V 投影 d都与 D 点重合，并在 OX 轴上；其 W 投影 d与原点 O 重合。同样可得出 E、F 两点 的投影，如图
11、3-6b 所示。ZXYVHWZXaYHYWAa“ abbb“ccc“CBc“caab“bcba“a)b)图 3-6 投影轴上的点3 31 14 4 两两点点的的相相对对位位置置 空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的前或后、 左或右、上或下。 空间两点的相对位置可以根据其坐标关系来确定：x 坐标大者在左，小者在右；y 坐标大者在前，小者在后；z 坐标大者在上，小者在下。也可以根据它们的同面投影 来确定：V 投影反映它们的上下、左右关系，H 投影反映它们的左右、前后关系，W 投 影反映它们的上下、前后关系。 若要知道空间两点的确切位置，则可利用两点的坐标差来确定。 如图
12、 3-7a 所示，已知 A、B 两点的三面投影。xAxB表示 A 点在 B 点之左， yAyB表示 A 点在 B 点之前，zAzB表示 A 点在 B 点之下，即 A 点在 B 点的左、前、 下方, 如图 3-7b 所示。若已知 A、B 两点的坐标，就可知道 A 点在 B 点左（右）方 xA-xB处(负数为反方向)，A 点在 B 点前（后）方 yA-yB处(负数为反方向)，A 点在 B 点上（下）方 zA-zB处(负数为反方向)。反之如果已知两点的相对位置，以及其中一 点的投影，也可以作出另一点的投影。6ZXYVHWZXaYHYWAa“abbb“Baab“bba“a)b)图 3-7 根据两点的投
13、影判断其相对位置当两个点处于某一投影面的同一投影线上，则两个点在这个投影面上的投影便互 相重合，这个重合的投影称为重影，空间的两点称为重影点。表 3-1 在投影面的重影点ZXYVHWWHVYXZZXYVHWXZYYYYZXXZYYaba“b“ a(b)c(d)d cd“c“efefe“(f“)ABCDEF OOOwhwwhhOOO侧 侧 侧侧 侧 侧H侧侧侧侧侧V侧侧侧侧侧W侧侧侧侧侧aba(b)a“b“c(d)dcc“d“efefe“(f“)在表 3-1 中，当 A 点位于 B 点的正上方时，即它们在同一条垂直于 H 面的投影线 上，其 H 投影 a 和 b 重合，A、B 两点是 H 面的重
14、影点。由于 A 点在上，B 点在下，向 H 面投影时，投影线先遇点 A，后遇点 B,所以点 A 的投影 a 可见，点 B 的投影 b 不可7见。为了区别重影点的可见性，将不可见点的投影用字母加括号表示，如重影点 a(b)。 点 A 和点 B 为 H 面的重影点时，它们的 x、y 坐标相同，z 坐标不同。 同理，当 C 点位于 D 点的正前方时，它们是相对于 V 面的重影点，其 V 投影为 c(d)。当 E 点位于 F 点的正左方时，它们是相对于 W 面的重影点，其 W 投影为 e(f)。 3 32 2 直直线线的的投投影影 两点可以决定一直线，直线的长度是无限延伸的。直线上两点之间的部分（一段
15、 直线）称为线段，线段有一定的长度。本书所讲的直线实质上是指线段。 3 32 21 1 直直线线的的三三面面投投影影 直线的投影在一般情况下仍是直线，在特殊情况下，其投影可积聚为一个点。直 线在某一投影面上的投影是通过该直线上各点的投射线所形成的平面与该投影面的交 线。作某一直线的投影，只要作出这条直线两个端点的三面投影，然后将两端点的同 面投影相连，即得直线的三面投影。如图 3-8 所示：ZXYVHWZXaYHYWAa“abbb“Baab“bba“a)b)图 3-8 直线的三面投影3 32 22 2 直直线线上上点点的的投投影影 如果点在直线上，则点的三面投影就必定在直线的三面投影之上。这一
16、性质称之 点的从属性。 一直线上的两线段之比，等于其同面投影之比。这一性质称之点的定比性。 如图 3-9 所示，已知 AB 的两投影，C 点在 AB 上且分 AB 为 AC：CB=2：5，求 N 点 的两投影。8ZXYVHWZXaYHYWAa“abbb“Baab“bba“ccc“ccc“Ca)b)图 3-9 求直线上点的投影3 32 23 3 各各种种位位置置直直线线的的投投影影特特性性 按直线与三个投影面之间的相对位置，将空间直线分为两大类：即特殊位置直线 和一般位置直线。特殊位置直线又分为投影面平行线和投影面垂直线。直线与投影面 之间的夹角，称为直线的倾角。直线对 H 面、V 面、W 面的倾角分别用希腊字母
