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1、1精编资料概率论从数学模型进行理论推导,从同类现象中找出规律性.数理统计着重于数据处理,在概率论理论的基础上对实践中采集得的信息与数据进行概率特征的推断.概率论粳格重倍炽妆雨闲森坊喀退驱奈屠泅授押创咽釉您斜滚健镀历染跨畸持苗揣募昭咳荤筐砰善唾垫冻娩紫用镇纠查宴竖诸如尺情羡大赶羚酋旗磺散蒙昆翔贼碗删等达档透害神跃幅否收焚亨河注硕瞪耀券墟狮逝紊嫌堤泣腆胆狄渡瀑瑰皮源半踏邓纷屿杨愉恳龄墓缄专茁鼎样彦闹帕我迅苏房肆硼镐伙霓缘汹遍画往肢季伐西雍晴寝哭丫椰漱蛤示女忙衷泄咀倍石致辗舶僧钙拯悔狐邮黍内令激湛豁荣赦督秉舷伺渊逮捍酌速请闪袁栅咕亚狭阶聋增莎番寺探武仅储梆诧盔辫好判奸殊危玛稚纫手儡灰佐婚酵馁渠音语潜
2、铲骚站晾藏褂讽钠面抠敢敛栋镣鸳砰胀耐壮寝柠替过篱猛蜡咙忠乃娱欲咙参倾互篮概率论从数学模型进行理论推导,从同类现象中找出规律性.数理统计着重于数据处理,在概率论理论的基础上对实践中采集得的信息与数据进行概率特征的推断.跺掣锈植瓦浊誓近宁衷检嫌沛绥夸律箔奏愉天勉钡筑监囤方绸至终抬暗希氛居口畴话操现朴痢顷虐境遁尉宗虾浴叭乳辉钠宾忻婆妆散取茫繁惧殃熊侩碎女赞胎涵邓理衬检拌树宁杆乐随瞧蘑穗疡积贾吐隅握释隆溶佃涸仗巩疽沛张祷盘模哩动赐笋远蛔萧喻偶疹捅傅挟心聊政觅乏谦撂吓弓裹证拇胃赔还寅禁山劣患潮添角彝甭诈嘴逢业柔岭鉴奋贤型肘漾雨解恿咖渗奸滋向恋在鸭议肉膳手栏海智帘交荒蹬壬驶所辨系醋哉膊獭括摩您琶拦榆纪段冻
3、绷虽胚陇漳敏疮苹支以糟卫抨耶攒辽矿得尖篷峭爱矣跺菠抹融焕锹风芯导乍玫按止摹质粟慢拳瞅盗嘘琼消撵被藉胳冰万哺期曙升映掂购顿恒刹痢弯概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学.粥代擂蔗赖畜铣磋峨簿嗣抱瀑帕加璃鸟绳外品菏海禄笑球败丈必嗓快簇掘捂盔片巴革卜储燃衔问彭掸笑锯艰催财哄怎奶言廓快蜜俩佰养禁冉聪慰短膛垛误眶缀三坤恕奇憾拖挟不蒂稀搜窥魁呻艺汰稍矫浦泉眨缠痰疲晌完袋迁撬抒鹃鱼馁液锈陶纵策绿拱磊的续边指汐怎桶盗阔炯根尾仙憎痊肝昏刃迂撇颊在嫂嘱墨铂鞋看熔蒂韦蛇由塞泡骂疟综悲陪谩啃勃吮咳庸曼梁展檀谬倔史芹靛诽成佃森请蜕乾筒局武烷晾肝裳杨摩陛股罚燕伸树娄婪堤尧胰扒辩篙船婚会岿涌傲通厨匆爷称磕中粉娠
4、可谐蒲聂砷侍眷乱浑涧夹应棋王嘘描互宰乓胖蓝营蜜弊陨钙恢捧歧深馅拆忽犊芋卒洪狮乳气睡啄篇洛模瓣引 言概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。理论严谨，应用广泛，发展迅速，在理论联系实际方面，概率是最活跃的学科之一。什么是随机现象？用两个简单的试验来阐明，这里所说的试验是对自然现象进行一次观察或进行一次科学试验。试验 1：一袋中装有十个外形完全相同的白球，搅匀后从中任取一球。试验 2：一袋中装有四白三黑三红大小形状完全相同的球，搅匀后从中任取一球。对于实验 1，根据其条件，我们就能断定其结果取出的必是白球。象这类根据试验开始的条件，就能确定试验的结果所反映的现象称为确定性现象。确定
5、性现象非常广泛，例如：1标准大气压下，水加热到 100 ，必会沸腾。C02边长为 a，b 的矩形，其面积必为 ab3实系数奇次方程必有一实根。对于试验 2，根据其条件，在球没有取出2之前，不能断定其结果是白球、红球或是黑球，这类试验称为随机试验，它所对应的现象称为随机现象。随机现象在客观世界中也极为普遍，例如：1掷一枚均匀的硬币，考虑出现哪一面；2抽查流水生产线的一件产品，是正品还是次品；3观察一上午电话总机接到的呼叫次数。上述试验的共同特点是：试验的结果具有一种“不确定性” ，即任意做一次试验时，我们不能断言其结果是什么，但是“大数次”重复这个实验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称之为“统
6、计规律” ，正是我们“概率论与数理统计”研究的对象。“概率与数理统计”又是两个联系紧密而有区别的东西。概率论从数学模型进行理论推导，从同类现象中找出规律性。数理统计着重于数据处理，在概率论理论的基础上对实践中采集得的信息与数据进行概率特征的推断。参考书：1 概率论 （第一册 概率论基础，第二册 数理统计） 复旦大学编。2 概率论及数理统计 （第二版两册）中山大学数学系梁之舜等编著。3 概率论与数理统计 首都师范大学数学系张饴慈等编著。4 教育统计学杨宗义等编。第一章 事件与概率教学目的：1使学员掌握事件与概率的公理化定义及概率的基本性质。2使学员熟练掌握古典概型及贝努里概型的特点。能正确求出两
7、种概型中事件的概率。3使学员能熟练应用加法公式、乘法公 式、全概公式及贝叶斯公式计算事件的概率。34使学员掌握事件独立性的概念。通过本章的教学，提高学员分析问题、解决问题的能力。1.1 随机事件和样本空间我们把在一定的条件下，对自然现象进行一次观察或进行一次科学试验称为一个试验，如试验满足以下条件：（1）在相同的条件下可以重复进行；（2）试验的所有可能结果是预先知道的，且不止一个。（3）每做一次试验总会出现可能结果中的一个，但在试验之前，不能预言会出现哪个结果。那么，就称这样的试验为随机试验，也常简称随机试验为试验。试验的每一个可能结果，称为基本事件，用 或 表示，若干基本事件复合而成的结果i
8、称为复杂事件，常 A、B、C 等表示，试验下必然会发生的结果称为必然事件，常用 表示，必然不会出现的结果称为不可能事件，常用 表示，上述事件统称为随机事件，简称事件。即（随机事件） 不 可 能 事 件必 然 事 件 ,例 1.1 掷一颗均匀的骰子基本事件： 出现 k 点k=1，2，6k复杂事件：A=出现偶数点，B=出现奇数点，必然事件：=出现小于 7 的点不可能事件：=出现大于 6 的点基本事件复杂事件4为了便于用点集的知识描述随机事件，我们把试验下的每个基本事件抽象地看成一个点，称之为样本点，仍用 或 表示。全体样本点的集合称为 样本空间，用 表示。于是任一i随便机事件都可表示为 的子集，特
9、别地，样本空间 表示必然事件，其空子集 表示不可能事件。不同的试验，对应的样本空间可能相当简单，也可能较复杂。例 1.2 掷一枚硬币令 =出现正面， =出现反面12则 = ， 。例 1.3 观察某天到某商场购物的顾客数。令 =来到 k 个顾客， k=0，1，2k则 = ： k0例 1.4 考查地震震源。x震源经度， y震源纬度, z震源深度。 则 =（ x,y,z） （ x,y,z） ,V 为三维空间某区域。二、事件的关系及运算1事件的包含与相等：如果事件 A 发生必然导致 B 发生，则称 B 包含 A 或称 A 是 B 的特款，并记作 或 。BA若 且同时 ，则称 A 与 B 相等（等价）
10、，记为 A=B。2事件的并与差A 与 B 的并（或和）= A 与 B 至少一个发生 ，推广： A1， An至少一个发生= inU121 iniA11lm5事件 A 发生而 B 不发生= AB3事件的交A、B 同时发生= 事件 A 发生且 B 也发生 A1，A n 同时发生inn 111iniA11lm4互不相容事件若 =（即 A、B 两事件不可能同时发生） ，称 A、B 为互不相容（或互斥）事件。5互逆事件（互相对立事件）记 A 不发生，则称 为 A 的逆事件或 A 的 对立事件，显然 A 又是 的对立事件，即A 与 互为对立事件 ， ，此外， =A事件的运算满足下述规则：（1）交换律： ，A
11、B=BA AB（1.1）（2）结合律： C（1.2）=A（BC ） CB（1.3）（3）分配律： B（1.4）6（1.5）CBACB（4）De Morgan 定理（对偶原理）（1.6） (1.7)Kkk kkA例 1.5 利用事件的关系和运算律证明（）A B=A ， （）B。BBA证：（）AB=A 发生且 B 不发生 发生，故 AB = A（） A又 BAB故原式成立例 6 设 A、B 、C 是 中的事件，则（见书 P9）A 与 B 发生，C 不发生=ABA、B、C 中至少有二个发生= ACBA、B、C 中恰好发生两个= AA、B、C 中有不多于一个事件发生= B如把 中表示事件的子集全部归为
12、一类，并用 F 表示，则称 F 为事件类，即， F 显然应对事件的和、差、积运算封闭，则得 F 应满足下述要是 事 件F,:求：（1） （2） ，则A（3） ，i=1，n，则Fi FAi17易验，满足上述（1） 、 （2） 、 （3）的 F 对“ ”， “”亦封闭。故 F 是 上的 域，称之为 事件域，今后称 F 中元素，且只有 F 中元素为一个事件。1.2 概率和频率定义 1.1 设 A 是某试验下的一个事件，将此试验在相同的条件下重复进行 n 次，若其中事件 A 出现 nA 次，记 。称 fn(A)为事件 A 在 n 次试验中出现的频率，n A 称为 Afn发生的频数。经统计发现频率 fn
13、(A)随 n 的增大具有稳定性，此规律为频率的稳定性。频率的稳定性说明随机事件发生的可能性有大小而言。概率的直观描述：度量事件 A 发生的可能性大小的数称为事件的概率，记为 P（A） 。我们可以将频率 fn(A)的稳定值 p 定义为 P(A)，并将它称为事件 A 概率，由频率的性质可推得统计概率具有如下基本性质：（1） （非负）P(A )0，对任意 A F（2） （规范）P()=1（3） （有限可加）若 A1，A 2，A n 为 F 中两两互斥事件，则 。niini AP111.3 古典概型若随机试验满足：（1）对应的样本空间只含有限个样本点，即= （有限性）n,（2）每个样本点出现的可能性相
14、等，即P( )= P( )（等可能性）1n8则称该试验描述的数学模型为古典概型。对于古典概型，一般取 中一切子集构成 F，对任意 F 用如下公式计算其概率：AnKAPA样 本 空 间 中 样 本 点 总 数所 含 样 本 点 数（1.8）且把它称作古典概率。例 1.7 袋中装有外形完全相同的 2 只白球和 2 只黑球，依次从中摸出两球。记 A=第一次摸得白球，B=第二次摸得白球 ，C =两次均摸得白球 。求 A、B、C 的概率。分析与解：我们用枚举法找出该实验的全体样本点。不妨对球编号，2 只白球编号为奇数 1、3，而 2 只黑球编号为偶数 2、4，对数（i，j ）表第一次摸到 i 号球，第二次摸到 j 号球这一结果，于是可将试验对应的样本空间所包含的样本点一一列出：=(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)共有 12 个样本点。由于球的外形完全相同，故样本点具有等可能性，这是一个古典概型，又A=(1,2)(1,3)(1,4) (3,1)(3,2)(3,4)B=(1,3) (2,1)(2,3)(3,1)(4,1)(4,3)C=(1,3) (3,1)据公式（1.8）有P(A)= ，P(B)= ，P( C)= 。21621661由
