高中平面几何

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1、高中平面几何高中平面几何(叶中豪) 知识要点知识要点1面积方法面积方法 2代数与三角方法代数与三角方法 3同一法与反证法同一法与反证法 4圆幂与根轴圆幂与根轴 5Ptolemy 定理及应用定理及应用 6Euler 线与九点圆线与九点圆 7几何变换及相似理论几何变换及相似理论 8位似及其应用位似及其应用 9内接三角形与内接三角形与 Miquel 定理定理 10完全四边形与完全四边形与 Miquel 点点 11Simson 线、垂足三角形与等角共轭线、垂足三角形与等角共轭 12配极，调和四边形配极，调和四边形 13反演反演 14射影几何射影几何 例题和习题例题和习题1已知 E、F、G、H 分别在四

2、边形 ABCD 各边上，满足s，t，联结 EG、FH 相交于 P 点。求证：AE EBDG GCAH HDBF FCs。 （Apollonius）HP PFPFGABCDEH2已知：ABC 中，M 是 BC 边的中点，自 M 作 MEAB 于 E，作MFAC 于 F，N 是 EF 联线的中点，L 是顶点 A 与垂心 H 联线段的中点。求证：M、N、L 三点共线。LHNFEMABC3ABCD 为矩形，正AEF 内接于 ABCD，M 是 EF 中点。 求证：2SBDMSCEF。MBDAEFC4已知：A1、B1、C1三点在直线 l1上，A2、B2、C2三点在直线 l2上，A1B2A2B1=P，A1C

3、2A2C1=Q，B1C2B2C1=R。求证：P、Q、R 三点共线。（Pappus 定理）l1l2R QPA1B1C1A2 B2C25ABC 中，BE、CF 是角平分线，EE1BC，EE2AB，FF1BC，FF2AC，E1E2、F1F2交于 D 点，I 是ABC 的内心，I是 I 关于 BC 的对称点。 求证：A、D、I三点共线。IIDE2E1F2F1FEABC6ABCD 是梯形，且 BC2AD。作 CEAB。EC 上有一点 P，满足 BPCP，联 AP、ED。若ABPADE。求证：APAD。DEBCPA7在凸五边形 ABCDE 中，12，BE，BCDE，M 为 CD 的中点。求证：AMCD。2

4、1 EMCDBA8设 OA、OB、OC 是从 O 点出发的三条射线，D 是平面上任意一点，过 D作 DF/OA，DE/OC，分别交 OB 于 E、F，再过 E、F 作一对平行线，分别交 OA、OB 于 P、Q。求证：P、D、Q 三点共线。PQEFOABCD9ABC 中，D、E、F 是边 BC、CA、AB 的中点，X、Y、Z 是各边上高的 垂足，EZ 与 FY 交于 L，FX 与 DZ 交于 M，DY 与 EX 交于 N。 求证：L、M、N 三点都在ABC 的 Euler 线上。NLOHMZYXEDFABC10设 P、Q 是A 内两点，满足BAPCAQ，P、Q 在两边上的射影分别 为 P1、P2

5、；Q1、Q2。求证：Q1P2、P1Q2、PQ 三线共点。RQ2P2Q1P1ABCPQ11设 P、Q 是A 内两点，满足BAPCAQ，P、Q 在两边上的射影分别 为 P1、P2；Q1、Q2。求证：Q1P2、P1Q2、PQ 三线共点。D Q2P2Q1P1ABCPQ12如图，圆 O1和圆 O2分别是ABC 的旁切圆，分别与各边切于 E、F、G、H，联结 EG、FH 并延长交于 P 点。求证：PABC。 （1996 年全国联赛）O2O1PHGFEABC13已知 P 是ABC 内任意一点，作PEAB，PFAC，AQCP，ARBP，E、F、Q、R 为垂足，联结 QE、RF。求证：QE、RF、BC 三线共点

6、。XFERQABCP14设 ABCD 是圆内接四边形，过 A、B 各作 AD、BC 的垂线交于 X，同样可 得 Y、Z、W。求证：X、Y、Z、W 四点共线。XDABC15已知ABC 为锐角三角形，以 AB 为直径的圆分别交 AC、BC 于 P、Q。 分别过 A 和 Q 作圆的两条切线交于点 T，分别过 B 和 P 作圆的两条切线交于点 S。 求证：T、C、S 共线。TS QPABC16圆 O1和圆 O2相交于 A、B 两点，P 是直线 AB 上一点，过 P 作两圆作切 线，分别切圆 O1和圆 O2于点 C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆 O1和圆 O2于 点 E，F。求证：AB、CE、DF

7、共点。 （10092201.gsp）EFD CBO1AO2P17过矩形 ABCD 的顶点作一条直线，分别与 BA、BC 的延长线交于 E、F，点 O 是矩形的中心，且 OEOF。求证：。 （10021201-1.gsp）CF ABEA CFAD EA （09103101-1.gsp）OFDABCE18已知 O 是ABC 的外心，点 E、F 分别在 AB、BC 边上，L、M、N 分别是 EF、BF、CE 中点。求证：过 L、M、N 三点的圆与 EF 相切的充要条件是 OEOF。 （10021201-2.gsp） （09071501.gsp）ONMLABCEF19设O1与O2交于 C、D。过 D

8、的直线交O1与O2于 A、B。点 P 在弧 AD 上，PD 与 AC 的延长线交于 M，Q 在弧 BD 上，QD 与 BC 的延长线交于 N，O 为ABC 外心。求证：MNOD 是 P、Q、M、N 四点共圆的充要条件。 （09020401.gsp）OMNBDO1CO2 AP Q20已知 RTABDRTADC，M 是 BC 中点，AD 与 BC 交于 E，自 C 作 AM 垂线交 AD 于 F。求证：DEEF。 （10083001.gsp）EFM CABD21设 KL、KN 是圆 O 的切线，M 是 KN 延长线上一点，过 K、L、M 三点的圆与圆 O 交于 P，作 NQLM 于 Q。求证：MP

9、Q=2NML。 （98 年伊朗竞赛） （10081601-5、6.gsp） （09022203.gsp）QPKONLM22如图，设 N 是ABC 的弧 BAC 的中点，M 是 BC 边中点，I 是ABC 的内 心。求证：ANIIMC。 （09021701.gsp）NIMABC23已知 H 是ABC 的垂心，M、N 分别是 BC 和 AH 的中点，直线 MN 交以 AH 为直径的圆于点 S、T。求证：AT、AS 平分BAC 及其外角。 （10040601-2.gsp）STMNHABC24在 ABC 中 ACBC，F 是 AB 的中点，过 F 作它的外接圆直径 DE，使得 C、E 在 AB 同一侧

10、，又过 C 做 AB 的平行线交 DE 于 L。 求证 ：(AC+BC) 24DLEF。 （09011003.gsp）LEDOFCAB25自圆 O 外一点 P 作切线 PA、PB 及割线 PCD，自 C 作 PA 的平行线，分 别交 AB、AD 于 E、F。求证：CE=EF。 （10081001-5.gsp）FECABODP26A 为圆 O 上一点，B 为圆外一点，BC、BD 分别相切圆 O 于 C、D，DE 垂直 AO 于 E，DE 分别交 AB、AC 于 F、G。求证：DFFG。 （09042001.gsp）KGFECDOAB27如图，ABC 中，M 为 BC 的中点，以 AM 为直径的圆

11、分别与 AB、AC 交于 E、F 两点，圆在 E、F 两点的切线交于点 D。求证：DMBC。 （09013101.gsp）DFEMABC28设圆 I1是ABC 的 BC 边外的旁切圆，D、E、F 分别是切点，若 I1D 与 EF 交于 P 点。求证：AP 平分底边 BC。 （10082001-8.gsp）MPFEDI1AB C29设以 O 为圆心的圆经过ABC 的两个顶点 A 和 C，且与边 AB、BC 分别 交于 K 和 N，又设ABC 和KBN 的外接圆交于 B 和另一点 M。 求证：OMB=90。 （1985 年 IMO） （10090301-1.gsp）OMNBACK30已知：在OAB

12、 与OCD 中，OA=OB，OC=OD，直线 AB 与 CD 交于点 P，PAC 与PBD 的外接圆交于 P、Q 两点。求证：OQPQ。 （09022301.gsp）QPOACBD31已知四边形 ABCD 中，B90对角线 ACBD，P 是对边 BC、AD 中 垂线的交点，Q 是对边 AB、CD 中垂线的交点。求证：B、P、Q 三点共线。 （10041302.gsp）QPAC BD32已知：P 是ABC 内任一点，EHBC，FIAB，GDAC，且三线共点于 P，AP 交ABC 的外接圆于另一点 Q。求证：APPQ=EPPH+FPPI+GPPD。 （10022801.gsp）QGFEDIHABC

13、P33已知 O 是ABC 的外心，D、E、F 分别是各边中点，R、r 为外接圆和内 切圆的半径。求证：ODOEOFRr。 （10040601-9.gsp）IFEDOABC34已知 E、F 是圆内接四边形 ABCD 对边 AB、CD 的中点，M 是 EF 的中点， 自 E 分别作 BC、AD 的垂线，垂足记为 P、Q。求证：MP=MQ。 （10091702-1.gsp）MQPFEABCD35已知：P 是四边形 ABCD 内的一点，满足12，34。 求证：PBPD 的充要条件是 ABCD 内接于圆。 （09030801.gsp）2143PABDC36已知，D 是ABC 底边 BC 上任意一点，P

14、是形内一点，满足12，34。求证：。 （09030801.gsp）PBAB PCAC4321PABCD37一点 P 在ABC 三边 BC、CA、AB 上射影分别为 S1、S2、S3，在三条高 AD、BE、CF 上射影分别为 T1、T2、T3。求证：S1T1、S2T2、S3T3三线共点 。 （08042602.gsp） （10040601-5.gsp）T3T2T1S2 S3S1FEDABCP38已知：AD 是高，O、H 是外心和垂心，过 D 作 OD 垂线，交 AC 于 E。 求证：DHE=C。 （09022202.gsp）HEODABC39已知：D、E、F 分别在ABC 三边上，满足 EBED，FCFD，O 是 ABC 外心。求证：A、E、O、F 四点共圆。 （09033102.gsp）OFEABCD40已知ABC 中，内心 I 关于 BC 边中点 M 的对称点为 I，S 是 BC 弧（不 含 A 点）中点，直线 SI交ABC 的外接圆于另一点 P。求证：P 点到ABC 较远 的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。 （10082201-5.gsp）PISMIABC