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1、1集合筛法与素数三大猜想的证明集合筛法与素数三大猜想的证明陕西神木陕西神木 史明智史明智 集合筛法集合筛法一般认为，用来制造素数表的厄拉多塞筛法在理论上是没有用处的。这种 筛法虽然可以准确无误、一个不漏地找出不大于 N 的每个素数，却无法运用它 来推理和证明更为深刻的问题。因为在不大于 N 的自然数集合中，任意一个不大于的素数 P 的倍数之个数为 ，就是这个取整程序阻碍了推理和计Ni iPN算的顺利进行。但是，这不等于说厄氏筛法所涉及的自然数、素数、合数相互关系的规律 就无法进一步发掘和利用。本文试图在推理过程中突破整数限制来探究它们之间的规律，即将 视为去推理，推理和计算过程不考虑取整，只对
2、最终iPNiPN结果四舍五入保留整数。对于由此产生的误差，在利用得出的规律解决实际问 题时，根据问题本身对准确程度的要求再作具体分析处理。把 视为，就可以这样表述：不大于 N 的自然数集合中，有的元iPNiPNiP1素是 P 的倍数，也即自然数集合元素数分别与其中 P 的倍数集合元素数之比ii为 1: 。 我们来证明如下定理。iP1定理：在不大于 N 的自然数集合中，每次筛去不大于的一个素数的倍N数集合，每次筛剩的自然数个数与其中 P 倍数的个数之比与未筛前它们之间的i比保持不变，仍为 1: （P 不等于已筛过的素数） 。直至筛剩数中不再有 PiP1i的倍数。i证明定理之前，先证明两个引理。引
3、理 1：在不大于 N 的自然数集合中，一个不大于的素数 P 的倍数集Nk2合，或几个不大于的素数 P ,P .的公倍数集合，其中有的元素是 P 的Nkj iP1i倍数（前者中 P P ，后者中 P 不等于 P ,P .中的任一素数） 。ikikj证明： 前者集合可表示为 P （1， 2， 3）k后者集合可表示为 P P .（1，2，3）kj显然，自然数列中某个项是 P 的倍数时，该集合这个元素也是 P 的倍数，ii而自然数列中有的项是 P 的倍数，故得引理。但若前者集合中 P = P ，后iP1iik者集合中 P 等于 P ，P .其中之一时，该集合所有元素便都是 P 的倍数，故ikji应除外
4、。引理 2：正整数等差数列中有的项是 P 的倍数（P 不等于公差中所含不iP1ii大于的素因数） 。N证明：设等差数列中第一个能被 P 整除的项为 mP ，公差为 d，则其后各ii项为 mP + nd(n=1，2，3.)。显然，n 为 P 的倍数时，该项亦为 P 的倍数，而iiin（自然数列）中有的项是 P 的倍数，故得引理。但若 d 为 P 的倍数时，则iP1ii各项均为 P 的倍数，故公差中含该 P 者除外。公差为负数时，该数列为从大到ii小的正整数等差数列，同样适用本引理。定理的证明：不大于 N 的自然数集合可以划分出不同层次的子集合：不大于的各个N素数的倍数集合，是第一层次的子集合；两
5、子集交集, 即两素数公倍数集合, 是 第二层次的子集合；三素数公倍数集合，又是其中两素数公倍数集合的交集，这是第三层次的子集合; 以此类推.（显然，这些子集合没有把大于的素数N包括进去） 。由引理 1 知，从不大于 N 的自然数集合到各层次各子集合，都各自有的元素是 P 的倍数（P 不等于该集合公有的素因数） 。所以，当我们在iP1ii3不大于 N 的自然数集合中筛掉 2 的倍数时，对于各层次各集合来说，除全部元 素都是 2 的倍数的子集合是被整体筛去外，其他各集合都是被筛去自身元素数的，也就是这些集合的元素数都同时缩小。所以各层次各集合剩余元素数21 21分别与其中所含其他子集元素数之比，仍
6、保持未筛前它们之间的比值不变，即仍为 1: （此时 P 2） 。同理，再筛去自然数集合剩余元素中 3 的倍数，除iP1i全部元素都是 3 的倍数的子集合被整体筛去外，其他各层次各集合都被筛去自身所剩元素的，即这些集合的元素个数又同时缩小。所以，再次剩余的各31 31层次各集合元素数与其中所含其他子集合元素数之比仍保持 1: 不变（此时iP1P 不等于 2 和 3） 。以此类推，定理得证。i我们在证明定理的同时，也得到了求 N 以内素数个数即 (N)的筛法，就叫集合筛法。因为筛去 P 的倍数中包括 1 倍即 P 本身，所以 (N)的渐近表达ii式要加上 P 的个数；又因“1”不是素数，故应减去
7、1，即：i(N)N(1-)(1-)(1-)(1-)+s-111 P21 P31 PsP1=N(1-)+s-1 (P =2, P ) si 1iP11sN如前所述，把 视为推导出的 (N)的渐近表达式，必然存在误差。iPNiPN下面，我们对误差做一些初步的分析和讨论： 1. 集合筛法的本质，就是在不大于 N 的自然数集合中按比例逐步筛去不大于的各个素数的倍数，即全部合数。因为 N 不可能被大多数不大于的NN素数整除，所以每次得出的筛剩数大多不是整数，如果每次都取整，必然会造 成累积性误差，而且对筛剩数取整与本该对被筛数取整适得其反，最终必然导 致完全错误的结论。而计算过程不取整，分数部分将在随后
8、的计算中体现其存在的作用。也可以这样理解：表达式中(1-)这部分是计算素数在自然数集iP1合中所占的比值，所以不须也不能取整，与 N 相乘后才是素数个数，则应四舍 五入保留整数。因为避免了累积性误差，这样得出的结果，误差自然不会大， 而且当 N 很大时，误差绝对值与实有素数之比，即相对误差会更小（见附表一） 。4这里可能会提出这样一个问题：对比依据逐步淘汰原则得出的 (N)表达 式，这个误差应该包括 2 个误差项（即有 2 个需要取整的项） ，这样多的误差ss项，致使人们得出厄氏筛法“几乎无用”的结论。而集合筛法认为这个误差并 不大，该如何解释呢？其实，误差项多不等于误差大，因为在那个 (N)
9、表达 式中，误差项（取整项）有正有负，是可以相互抵消的。2. N 只要在 P 和 P之间，(1-)的值都是相同的（即尚无下一个小2 s21s iP1于的素数） ，而这个值与该区间每个自然数相乘都会得到一个不同的值。如N果该区间连续多个自然数都是合数，就会出现计算值增加了而实际素数个数并 未增加的现象。相反，如果该区间频繁出现素数，甚至孪生素数，三生素数， 就又显示为计算值未增加多少，实际素数个数却增加较多。进而言之，素数在 自然数中分布是不均匀的，N 处于素数稠密区结束处，计算值会小于实际值， 呈负误差；N 处于素数稀疏区结束处，计算值会大于实际值，呈正误差(本文一 律将计算值大于实际值的误差
10、称为正误差,反之称为负误差)。误差的忽大忽小， 忽正忽负，就是集合筛法误差的不规则性。上述 N 很大时相对误差会更小，是 从误差绝对值的上限来比较的。 3集合筛法依据的是规律而非概率，在一定前提下，误差的存在并不影响 我们对规律的利用。对于一些并不要求绝对准确值的命题或猜想（如孪生素数 猜想和三生素数猜想只要求证明其无穷多；哥德巴赫猜想只要求证明大于 4 的 偶数最少可分解为一个两奇素数相加的对子） ，我们完全可以利用它作为证明的 工具。附表一：附表一：用用 (N) 渐近表达式计算的素数个数与实际个数对比渐近表达式计算的素数个数与实际个数对比N计算值实际值误差误差（绝对值）实际 值 10026
11、 2510.040 50093 95-20.021 1,000163 168-50.029 2,000296 303-70.023 5,000666 669-30.004 10,00012271229-20.002 50,00051945133 610.012 100,000971695921240.0135孪生素数猜想的证明孪生素数猜想的证明孪生素数是相差为 2 的素数对。证明孪生素数猜想就是要证明这样的素数 对有无穷多。我们的基本思路是：在相差为 2 的奇数对集合中筛掉那些最少有 一奇数是合数的对子，剩下的就是孪生素数对。我们来推导不超过 N 的自然数 中孪生素数对子数即 Z(N)的渐近表
12、达式。先把不大于 N 区间相差为 2 的奇数 对集合按如下形式列出进行观察分析： 1 ， 3 3 ， 5 5 ， 7 7 ， 9 9 ， 11 11 ， 13 13 ， 15 15 ， 17 17 ， 19 19 ， 21 （N 为偶数时） N-3 ， N-1 （N 为奇数时）N-2， N不难看出, N 为偶数时，不大于 N 区间相差为 2 的奇数对有-1 对，N 为2N奇数时则有对。表达式仅以 N 为偶数表示。121N 21N为了便于叙述，我们约定如下简称：其中一奇数是 3 的倍数的对子称为含 3 对，其中一奇数是 5 的倍数的对子称为含 5 对，以此类推。对于相差为 2 的奇数对集合，一奇
13、数含某个不大于的素因数的对子集N合是它的子集合，我们称它为第一层子集合；既是含 P 对又是含 P 对（P ,Pkjk均）的奇数对集合，是这两个子集合的交集，此为第二层子集合；三子jN集交集是其中两子集交集的子集，此为第三层子集合;以此类推（可以看出这些子集合没有把大于区间的孪生素数包括进去） 。不论几个子集的交集，其元N素都可分为两种类型：一种是各子集自身公有的素因数（简称命名素数，如含 3 对的命名素数是 3，含 5 对的命名素数是 5）包含在其中一个奇数中，也即一 奇数是各子集命名素数的公倍数，另一奇数则不含这些命名素数，我们把这类 对子称为公倍数对；另一种是这些命名素数分含在两个奇数中，
14、即一个命名素 数的倍数或几个命名素数的公倍数与另一个命名素数的倍数或几个命名素数的 公倍数相遇在一个奇数对中，我们把这类对子简称为相遇对。例如在含 3 对、 含 5 对、含 7 对三子集交集中，105 和 107 这对奇数属于公倍数对，75 和 77 这 对奇数属于相遇对。6下面我们来分析各层次各集合元素数分别与其中所含其他子集元素数的比。1.奇数对集合元素数分别与各子集元素数的比: 从纵列看，每列都是一个连续的奇数数列。由定理知，每列奇数都有的项是 P 的倍数，又因相差为 2iP1i的两奇数不可能被同一素数整除，所以奇数对集合中有的元素是含 P 对。即iP2i奇数对集合元素数分别与其中所含各
15、子集元素数之比为 1:。iP22. 各子集元素数分别与其中所含其他各子集元素数(即相关两子集交集的元 素数)的比:以含 5 对集合与其中的含 3 对元素为例,由定理和引理 1 知，5 的奇数倍集合中有的元素是 3 的倍数，所以含 5 对集合中有的元素是二者交集31 31中的公倍数对；另外，一列奇数中 5 的倍数与另一列奇数中 3 的倍数相遇的周 期是 15 个奇数，即每 3 个 5 的倍数中有一个与 3 的倍数相遇，故含 5 对集合中有的元素是二者交集中的相遇对。两者合计，含 5 对集合中有的元素是含31 323 对。同理可推知：第一层各子集元素数分别与其中所含其他子集元素数之比为 1:。iP23. 各交集元素数分别与其中所含其他子集（即不包括形成该交集的子集） 元素数的比: 先说公倍数对。公倍数对可分为公倍数在前一奇数位和公倍数在 后一奇数位两类。把每类公倍数对摘出来按原顺序排列，其公倍数和与之配对 的奇数就是两列以最小公倍数 2 倍为公差的等差数列。如含 3 对和含 5 对交集 中的两类公倍数对：公倍数在前 公倍数在后 15 ， 17 13 ， 15 45 ， 47 43 ， 45 75 ， 77 73 ， 75 105 ， 107 103 ， 105
