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1、【学案十一】空间向量与立体几何 第 1 页 （共 8 页）【青春励志卡】让自己快乐，是一种美德，让别人快乐，是一种功德。zyxCDCBAABOzyxDCCBAA BO NMHGFEzyxDCCBAA BOzyxDCCBAA BO NM【 【学案十一学案十一】 】 空空间间向量与立体几何向量与立体几何（ （）空）空间间直角坐直角坐标标系系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系：如图，是单位正方体。以 O 为原点，分别OABCD A B C 是射线 OA，OC，的方向为正方向，以线段 OA，OC，的长为单位长度，ODOD 建立三条数轴：轴，轴，轴，这时我们说建立了一个空空间间直角坐直角坐标标系系 O
2、。xyzxyz 点 O 叫做坐坐标标原点原点，轴，轴，轴叫做坐坐标轴标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做xyz 坐坐标标平面平面，分别称为平面，平面，平面。其中：xOyyOzzOx 平面是坐标形如（x,y,0）的点构成的集合；xOy 平面是坐标形如的点构成的集合；yOz), 0(zy平面是坐标形如的点构成的集合；zOx), 0 ,(zx轴是坐标形如的点构成的集合；x)0 , 0 ,(x轴是坐标形如的点构成的集合；y)0 , 0(y轴是坐标形如的点构成的集合。z), 0 , 0(z 空间任意一点 M 与三个有序实数组（点的坐标）之间，建立起一一对应关系。 这个有序实数组叫做点 M 在此空空间间直角坐
3、直角坐标标系中的坐系中的坐标标，记作 M（） 。, ,x y z 其中叫做点 M 的横坐横坐标标，叫做点 M 的纵纵坐坐标标，叫做点 M 的竖竖坐坐标标。xyz写出下列各点的坐标：O，A，)0 , 0 , 0()0 , 0 , 1 ( B，C，)0 , 1 , 1 ()0 , 1 , 0(A) 1 , 0 , 1 ( ，。B) 1 , 1 , 1 (C) 1 , 1 , 0(D) 1 , 0 , 0( 例例 1、如图，正方体的棱长为OABCD A B Ca E、F、G、H、M、N 分别是棱，C DD A ，的中点，A AABBCCC 写出正六边形 EFGHMN 各顶点的坐标。E（0，） ，F（
4、，0，） ，G（，0，）2aa2aaa2aH（，0） ，M（，0） ，N（0，）a2a 2aaa2a例例 2、已知正三角形 ABC 的两个顶点的坐标分别为 A（0，0，0） ，B（0，2，0）它的第三个顶点 C 在坐标平面上，则顶点 C 的坐标是 。答案：（，1，0） ， （-，1，0） ， （0，1，） ， （0，1，-） 。3333 二、在空间直角坐标系中，点二、在空间直角坐标系中，点 P（x，y，z）的几种特殊的对称点的坐标如下：）的几种特殊的对称点的坐标如下： 点 P关于原点对称的对称点是 P1；),(zyx),(zyx点 P关于横轴（x 轴）对称的对称点是 P2；),(zyx),(z
5、yx点 P关于纵轴（y 轴）对称的对称点是 P3；),(zyx),(zyx点 P关于竖轴（z 轴）对称的对称点是 P4；),(zyx),(zyx 点 P关于平面对称的对称点是 P5；),(zyxxOy),(zyx点 P关于平面对称的对称点是 P6；),(zyxyOz),(zyx点 P关于平面对称的对称点是 P7。),(zyxzOx),(zyx 三、三、已知空间两点，则：1111( ,)P x y z2222(,)P xyz（1）线段线段的中点的中点坐标公式：坐标公式：。12PP( , , )M x y z)2,2,2(212121zzyyxx（2）空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式：。1
6、2|PP 2 212 212 21)()()(zzyyxx特别地：空间任意一点到原点 O 的距离为：。( , , )P x y z|OP 222zyx例例 3、如图，正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个OABCD A B Ca几何体的顶点，则这个几何体的棱长为。a22（例（例 3 图）图） （例（例 4 图）图） 例例 4、如图，正方体的棱长为，OABCD A B Ca| 2|ANCN，则的长为。| 2|BMMCMNa35例例 5、以 A（4，1，9） ，B（10，1，6） ，C（2，4，3）为顶点的 三角形是 等腰直角 三角形。 四、练习：四、练习： （1）点 A（0，1，3）及点 B（
7、0，5，0）在空间直角坐标系的位置都比较特殊，点 A 在上，点 B 在上。、yoz、 y（2）点 M（1，5，2）关于平面的对称点是 （1，5，-2） 。yOz （3）点 M（3，1，2）关于轴对称的点的坐标是 （3，1，-2） 。x （4）点 A（2，3，1）关于坐标原点对称的点的坐标是 （-2，3，-1） 。 （5）点 M（2，1，2）在轴上的投影点为 （-2，0，0） 。x （6）点 A（1，2，1）在平面上的投影点为 （-1，0，1） 。xOz （7）点 M（3，4，2）到平面上的距离是 2 。xOy【学案十一】空间向量与立体几何 第 2 页 （共 8 页）【青春励志卡】让自己快乐，是
8、一种美德，让别人快乐，是一种功德。laOABPbaP AOBC（8）点 A（2，1，5）到轴的距离等于。xd26（9）已知，两点，( ,5,21)A xxx(1,2,2)Bxx当取最小值时，的值为。|ABx78（10）轴上到点 M（3，5，7）与点 N（6，0，1）距离相等x的点的坐标是。)0, 0,323(（11）已知三角形三个顶点 A（2，0，0） ，B（2，3，5） ，C（0，0，5） ，则过点 B 的中线长为。265（ （）空）空间间向量与立体几何向量与立体几何一、在空间，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量空间向量。空间向量用 有向线段 表示。有向线段的长度表示向量的 长度 或 模
9、 。 二、零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、共面向量二、零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、共面向量： 零零 向向 量量长度为 0 的向量叫做零向量。零向量。零向量的方向是 任意的 。0r单单位向量位向量模为 1 的向量叫做单位向量。单位向量。共共线线向量向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行 或 重合 ， 则这些向量叫做共线向量共线向量或平行向量平行向量。记作。/abrr零向量与任意向量平行(共线)； 任一组平行向量都可以移动到同一条直线上。相等向量相等向量方向相同 且 模相等 的向量叫做相等向量，相等向量，记作。abrr向量可根据需要 平移 。在空间，
10、两个长度相等且指向一致的 有向线段表示同一个向量或相等向量。相反向量相反向量与长度 相等 ，方向 相反 的向量，叫做的相反向量。相反向量。arar零向量的相反向量是 零 向量； 任一向量与其相反向量的和是 零 向量。共面向量共面向量平行于同一平面 的向量，叫做共面向量。共面向量。 空间任意两个向量总是 共面 的； 空间任意三个向量 即可能共面也可能不共面 。 空间任意两个向量都可以平移到 同一平面 内，成为同一平 面内的两个向量，因此，空间向量也是自由向量自由向量。 三、空间向量的线性运算：三、空间向量的线性运算： 1、空空间间向量的加法、减法运算向量的加法、减法运算：空间向量的加减运算类似于
11、平面向量的加减运算， 同样遵循平行四边形法则和三角形法则。 说明：空间向量的加法运算满足交换律及结合律；即：加法交换律：；加法结合律：。abba)()(cbacba 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线 所表示的向量， 这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 即在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，。11ACABADAAabcuuuu ruuu ruuu ruuu rrrr 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点 的向量即：。12233411nnnA AA AA AAAA Auuuu ruuu
12、uruuuuruuuuuu ruuuu rL因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为 首尾相接 的向 量 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为即：012233411nnnA AA AA AAAA Auuuu ruuuuruuuuruuuuuu ruuuu rL02、空空间间向量的数乘运算向量的数乘运算：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积arar仍然是一个向量，称为向量的数乘运算向量的数乘运算。它的长度与方向规定如下： ；|ar|ar 当时，的方向与的方向 相同 ；0arar当时，的方向与的方向 相反 ；当时，0arar0ar0 向量数乘运算律：设 、 为实数，那么：
13、，()a r ()ar特别地：()()()，ararar；()araarr。()abrrabrr四、向量共线的充要条件四、向量共线的充要条件：对空间任意两个向量，()，arbrbr0r的充要条件是存在实数 ，使。/abrrba 推论推论：如上图，如果 为经过已知点，且平行于已知非零向量的直线，lAar对空间任意一点，点在直线 上的充要条件是存在实数 ，OPlt使。atOAOP其中向量叫做直线 的方向向量方向向量。在 上取，则上式可化为：arllABauuu rr或。ABtOAOPOBtOAtOP)1 (当时，点是线段的中点，此时1 2t PAB)(21OBOAOP和都叫做空空间间直直线线的向量
14、表示式的向量表示式，是线线段段的中点公式的中点公式AB五、向量共面的充要条件：五、向量共面的充要条件：【学案十一】空间向量与立体几何 第 3 页 （共 8 页）【青春励志卡】让自己快乐，是一种美德，让别人快乐，是一种功德。如果两个向量不共线，, a brr与向量共面的充要条件是：pr, a brr存在唯一的有序实数对（） ，, x y使byaxp 推论推论：空间一点位于平面 ABC 内的充要条件是：P存在有序实数对（） ，使。, x yACyABxAP或对空间任意一点 O，有。ACyABxOAOP或对空间任意一点 O，有。OCyOBxOAyxOP)1 ( 上面、和式都叫做平面平面 ABC 的向
15、量表示式的向量表示式例 1、已知，则和所夹角的大小为。| 2a r|2b r(2)abarrrarbr4例 2、已知，若，324 ,(1)82amnp bxmnyprrrrrrrr0a rr/abrr则实数= -13 ，= 8 。xy 六、空间向量的数量积：六、空间向量的数量积： 1、空间向量的夹角及其表示：、空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量，在空间任取一点，作，, a brrO,OAa OBbuu u ruuu rrr则叫做向量向量与与的的夹夹角角，记作，显然有。AOBarbr, a brr,a bb arrrr的取值范围：。, a brr0,180a brr2、向量的数量积、向量的数量积：已知两个非零向量，则叫做的数量的数量积积。, a brrbaba,cos|, a brr记作，即a brra brrbab
