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1、近世代数(B)2007 年 4 月广东省高等教育自学考试一.选择题（每小题 2 分）1.设 A、B 是两个集合.则 ()ABAA. B. BA AB C. D.ABA 2.下列各集合对于所规定的二元运算满足交换律的有 ()A. B. babaQM2,oQM C D. bababaQMo,2,abbaQMo3.设 R 是实数集,运算为普通乘法,则_是 R 到 R 的同态 ()A. B. C. D. xexf:xxf4:2:xxf1: xxf4.四次对称群的元素(12)(34)的逆元是 ()4SA.(1234) B.(1324) C.(13)(24) D.(12)(34)5.三次对称群中不能和(1
2、23)交换的元素是 ()3SA.(12),(13),(23) B.(12),(132) C.(13),(132) D.(23),(132)6.下列说法不正确的是()A.两个不相连的循环置换一定可以交换 B. Nkiiiiiikk),.().(112 k21C. 一个 k-循环置换的阶 k, D.循环群的子群也是循环群Nk7.下列说法中彼此等价的有几个()(1)一个群 G 的一个非空子集 H 作成 G 的一个子群(2) HaHaHabHba1,和(3) HabHba1,(4) HabHba,A. 0 B 2 C. 3 D.48.一个至少有两个元而且无零因子的有限环是一个()A.没有单位元的环 B
3、. 除环 C.有零因子环 D.非交换环9.设 R 是模 6 剩余类环,在多项式环 R中,零因子是()xA. B. 22x323xC. D. 1 3x332x10.设是交换环到环的一个满同态,则()R_ RA.是一个无元零因子环 B.是交换环 C.是除环 D. 是一个域_ R_ R_ R_ R11.设是整数环, 且都不是,是的两个理想, ZZba,ba,1)(),(baZ)()(baA.(),其中是的最大公约数 B.(),其中是的最小公倍数 mmba,mmba,C. 本身 D.(),其中Zmabm 12.设是实数环,则_是多项式环的素元.RxRA. B. C. D. 63 x412x13 xx8
4、822 xx13.一个域 F 上的一元多项式环是xFA.除环 B.域 C.非唯一分解环 D.欧式环14.设是模 25 的剩余类环,则的多项式在里根的个数RxR2xRA.1 B.5 C 25 D.无穷15.设是有理数域, 是实数域, 是复数域,则下列正确的是QRCA. B. 是的单扩域 C. 是的单扩域 D. 是的有限扩域 2:RCRQCQCQ二.填空题（每小题 2 分）16._是任何集合的子集.17.集合的一个分类决定的元素之间的_.AA18.一个_叫做这个群的阶.19.四阶群在同构意义下的只有两个,分别是_和_.20.设是群的子群,是的不变子群,则是的_.HGNGHNG21.一个无零的因子环
5、的_叫做环的特征.RR22.当环有单元换是,主理想的元都可以写成_的形式.R(a)23.设是整环, _以及_叫做的平凡因子.RRaa24.设为整数环,1 是的单位元,叫做的一个单位,如果_.IIIaI25.整数环的商域是_.Z三.计算题（每小题 8 分）26 设,=.求 12434321 12344321322,27.设是模 6 的剩余类环, ,求的根.R23)(2xRxxxf)(xf28.求出高斯整数环上的所有单位,并求的所有相伴元.,|ZbabiaRRi3四.应用题（每小题 6 分）29.设是模 7 的剩余类环,在里,计算RxR)34)(453(23xxxx五.证明题（每小题 10 分）3
6、0 设是一个主理想环,并且,证明是和的一个最大公因子.I)(),(dbadab31.设是一个群, 是中取定的元,另外规定中运算,其中),(GuGGbauba3:为在中的逆元.1uuG证明: 也是一个群),(G2008 年 4 月广东省高等教育自学考试一. 单项选择题（每小题 3 分）1 下列命题中,结论正确的是A. B. C. D. 11111111 2.设是有理数集,+、-、通常是加、减、乘法,则下列_中定义的运算,不是上的一QQ个代数运算.A. B. C. baaba2obbaoD. |babao3.设上的代数运算 ,适合交换律和结合律,则其运算表中的依次为,cbaA owzyx,abca
7、axybbcacczwA. B. C. D. accb,bacb,abbc,cacb,4.设是实数集, 的运算为普通乘法,则_是到的一个同态映射.RRRRA. B. C. D. xxf3:xxf:2:xxf3:xxf5.设是全体非零实数的集合, 对于普通乘法来说作成一个群,则 3 的阶为*R*RA.1 B.3 C.-3 D.无限6.设是循环群的一个生成元,且的阶为 12,则下列不是的生成元是aGaGA. B. C. D. 3a5a7a11a7.设是实数集, 是所有非零实数的集合,对于普通加法来说作成一个群,对于普通R*RR*R乘法来说作成一个群,则下列说法不正确的是A. 是的子群 B. 的单位
8、是 0 *RR*RC. 的单位元是 1 D.1 在中是无限阶的,在中的阶为 1*RR*R8.下列说法正确的是A.一个至少有两个元而且没有零因子的环是除环B.整环、除环和域都是无零因子环C.整环、除环和域都是交换环D.无零因子环的特征都是无限大9.设是模 10 的剩余类环,则下列是的子环的是)10/(Z)10/(ZA. B. C. D. 5,04,03,02,010.设是整数集, 是虚数单位,在环中,下列 4 个命题中正确的是Zi,|3ZbaibaR(1) 是单位;(2) 是元素;(3)2 不是元素;(4)不是唯一分解环ii 31RA.(1)和(3) B.(2)和(4) C. .(1)和(4)
9、D. .(2)和(3)二.填空题(每小题 3 分)11.设是整数集, 是的两个变换, 且Zgf ,Zbabaxxf2)(当 2 整除 x 时)(xg当 2 不整除 x 时则_)(xgf12.设群中元的阶为 12,则的阶为_Ga2a13.请将置换写成不相连的循环置换的乘积的形式_.14 设是模 8 的剩余类加群76,5,4,3,2,1,0,)8/( ZG是的不变子群,则商群的阶是_.6,4,2,0N(8)/ZG ZG 15.设是环,称为交换环,如果_RR16.设为整数环, 是的两个子环,则ZZn|7nBZ,n|2nAZ_ BA17.设和是两个子环,且和同态,则这两个同态满射时的核是的一个R_ R
10、R_ RIR_并且_IR/18.设是整数集, 是虚数单位, 是高斯整环, 是的所有单位的集Zi.|ZbabiaIUI合,则_U19.在整数环中,由 5 与 15 所生成的理想等于元_生成的主理Z)15, 3(想.20 设是模 5 的剩余类环,则在中有_个不同的根.)5/(Z3)(3 xxf)5/(Z三.计算题（每小题 9 分）21.设(1)求(2)求的阶并说明理由22.设是模 8 的剩余类环.)8/(ZR (1)求的所有零因子和所有可逆元;(2)求的所有理想RR23.设是模 7 的剩余类环,在中计算: )7/(ZR xR )352)(322(232xxxx四.应用题（每小题 7 分）24 设,
11、由全体子集组成的集合称为的幂集,记为,在中定义二元3 , 2 , 1AAA)(AP)(AP 249816735987654321 462531654321, 5261436543212x21x关系为:对任意的,这里表示集合中元素的个数R|),(,TSSRTAPTS| SS(1) 证明: 是的一个等价关系.R)(AP(2) 写出由的等价类.R(3) 五、证明题（每小题 8 分）25.整数集中定义运算 :对于任意的Zo2,babaZbao证明: 对于运算 来说作成一个群Zo26 设是有理数域,证明对于普通的加法、乘法来说作成一个域.Q,|3QbabaR 2009 年 4 月广东省高等教育自学考试
12、一、单项选择题(每小题 3 分) 1.下列命题中,正确的是A. B. C. D. 02.设N是自然数集,则下列定义的运算上的一个代数运算的是NA. B. C. D. abbao)1ln(abaoabba31o|b-a|2bao3.设则是到的,2:, xa所有正实数所有实数BABA到从A.单射非满射 B.满射非单射 C.一一映射 D.既非单射也非满射4.在群中,元素的阶为 6,则的阶是Ga2aA.3 B.6 C.8 D.125.在 4 次对称群中, 等于4S31234A.(13)(24) B.(1324) C.(14)(32) D.(1432)6.在是模 8 的剩余类加群, 的子群共有8Z8ZA.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 7.在环中,下列性质一定成立的是R A.有单位元 B.无零因子 C.有零元 D.乘法适合交换律RRR8.设,对于矩阵的加法和乘法构成一个环,则这个矩阵环是Zba,|b00a RA.由单位元的交换环
