积分上限函数在考研数学中的考察

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1、积分上限函数在考研数学中的考察积分上限函数在考研数学中的考察来源：文都教育来源：文都教育积分上限函数是考研数学的一个高频考点，经常和求极限、求导数、求解微分方程一起以综合题的形式出现。文都数学老师分析归纳积分上限函数相关知识希望对学员有所帮助。一、知识回顾1.积分上限函数设，令，则为的一个原函数，即( )Cf xa,b( )( )dxaxf tt( )x( )f x.( )( )xf x注：该知识点要求熟练掌握，要求会证明，真题中曾经考察过证明。2.积分上限函数求导数( )d( )xadf ttf xdx21(x)(x)2211(x)( )d( (x)(x)( )d(x)(x)(x)(x)ad

2、f ttfdx df ttffdx二、典型例题分析题型一、积分上限函数求极限【例 1】设在处一阶可导，求( )f x0x 0( )lim2 xf x x220 40()d limxxtf xttx【分析】经过分析可以使用洛必达法则，但是要注意积分上限函数求导数，自变量含有 x，一定要注意分离变量。【解析】由得，. 0( )lim2 xf x x(0)0,(0)2ff 由，得2 22222200011()d() ()( )22xxxtf xttf xtd xtf u du 2 2222 00 44320000220()d( )112()1()limlimlimlim2244 1()(0)11li

3、m(0)442xxxxxxxtf xttf u duxf xf x xxxx f xffx 题型二、变积分限函数求导数【例 2】设，求，202cos( ) xyxtdtdy dx22d y dx【分析】被积函数函数中含有 x，但是对 t 积分，x 可看成常数，因此可考虑函数乘积的导函数。【解析】22002224cos( )cos( )2cos() xxyxtdttdtxx 【例 2】设在上连续，且，求( )f x0,110( )( )F xxt f t dt( )F x【分析】被积函数中含有 x，但是对 t 积分，x 可看成常数，但是同时被积函数中含有绝对值，一定要想法去掉绝对值符号。【解析】11000011( )( )() ( )() ( )( )( )( )( )xxxxxxF xxt f t dtxt f t dttx f t dtxf t dttf t dtxf t dttf t dt 01( )( )( ) ,xxF xf t dtf t dt以上是文都数学老师，针对积分上限函数，结合例题进行的归纳总结，希望 2016 年考研的学员熟练掌握。