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1、 高等数学论文高等数学论文论文题目：论文题目：级数敛散性判别方法的归纳级数敛散性判别方法的归纳姓姓 名：冯菲菲名：冯菲菲院院 系：电气信息学院系：电气信息学院专专 业：电子信息工程业：电子信息工程指导老师：费指导老师：费 腾腾时间：时间：2013 年年 5 月月摘摘 要要：无穷级数是高等数学中的一个重要组成部分，它是研究函数、 进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的 很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级 数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法 作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词关键词：级数 ；
2、收敛；判别 ；发散 引言：引言： 在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照 指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲 完，再让学生作综合判别时， 学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲 目性 ，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐， 而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁 琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要 是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱 .所以 在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.一一. .级数收
3、敛的概念和基本性质级数收敛的概念和基本性质给定一个数列 ，形如 nu LLnuuu21称为无穷级数(常简称级数),用表示。无穷级数的前 n 项之和，记为1nnu= nnnnus 1nuuuL21称它为无穷级数的第 n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数的部分和数列收敛于 s.则称无穷级数收敛，若级数的部分和发散则称级数ns1nnu发散。nv研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理 1 若级数和都收敛，则对任意的常数 c 和 d，级数nunv亦收敛，且=c+d)(nndvcu)(nnducununv定理 2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理
4、3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理 4 级数收敛的充要条件是：任给0，总存在自然数 N，使得当mN 和任意的自然数，都有ppmmmuuuL21以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中， 仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就 是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二二. .正项级数的收敛判别正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正整数 M，对一切正整数 n 有M。从基本nsns定理出发，我们可以由此建立
5、一系列基本的判别法1 1 比较判别法比较判别法设和是两个正项级数,如果存在某正数 N，对一切 nN 都有nunv，则nnvu （i）级数收敛，则级数也收敛；nvnu（ii）若级数发散，则级数也发散。nunv例例 1 1 . 设收敛，证明：收敛（0）.12nna2lnnn nna na证明：因为 00）.2lnnn nna na例例 2 . 证明：级数都是条件收敛的。)0(sin) 1(1xnxn证： 不妨设 x0,则0，当 n时，0时， =0，=1xNnxnsin) 1(nxsinnxnxnsin lim 又发散，由比较判别法知也发散。1nnx1sinnnx所以，级数都是条件收敛的。0x)0(
6、sin) 1(1xnxn例例 3. 证明级数收敛)!1 ! 21 ! 111 (1nenL证： 01nnnuu1lim!3) 1()!1(3lim11nn nnnnnnnnn n)11 (3lim e3所以由比式判别法知级数发散。nnnn!34 4 积分判别法积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对 象来判断正项级数的敛散性。设 f 为1，+ )上非负减函数，那么正项级数与反常积分)(nf同时收敛或同时发散。dxxf1)(例例 1 1 .判别级数的敛散性。3)ln(ln)(ln1nqpnnn解：设 f(x)= ,则 f(x)在3，+ 上非负递减。qpnnn)l
7、n(ln)(ln1若若，这时有= = 1p3)ln(ln)(lnqpxxxdx3lnlnqudu) 1() 1()3ln(ln1 111qqqq当小 q1 时级数收敛；当小 q 1 时级数发散； 若若,这时有= 对任意的 q，当1p3)ln(ln)(lnqpxxxdx3lnln)1(qupuedu时，取 t1,有01p=0 即该积分收敛。当时，有 =quptuueu)1(1lim01pquptuueu)1(1lim即该积分发散。5 5 拉贝判别法拉贝判别法设为正项级数，且存在某正整数及常数 r， （i）若对一切nu0Nn，成立不等式1，则级数收敛。 （ii）若对一切 n0Nruunnn)1 (
8、1nu，成立不等式则级数发散。0N1)1 (1nn uunnu例例 1 1 .判别级数（x0）的敛散性。)()2)(1(! nxxxn L解：因为 = 1- )1 (lim1nnnuunn nlim) 1()2)(1()!1( nxxxn L!)()2)(1( nnxxxL= xnxnxn1lim所以由拉贝判别法知，当小 x1 时级数收敛；当小 x 1 时级数发散；6 6 对数判别法对数判别法对于正项级数，如果存在，则当 q1 时，级数收nuqnunn ln)1ln( limnu敛；当 q1 nlimnan ln)1ln(nlimnnnln5ln) 1(ln1因此有对数判别法可知级数=收敛。2
9、nna2)1(ln15nnn7 7 双比值判别法双比值判别法对于正项级数，如果存在= = ，则当时，级数发散。nu21nu例例 1 判别级数的敛散性。12lnnnn证明：因为=nnnuu2lim 41 ln)2()2ln(lim22 nn nnn21由此知级数收敛。12lnnnn例例 2 判别级数的敛散性。1!nnnenn证明：这里，即 1nnaannenn !11)!1() 1(nnenn有 = = = nlimnn aa2nnnnnnen enn! )!2()2(lim22 nnnnnnnnnennenn enen2222)2( )2(22)2(lim 22 21所以级数发散。1!nnne
10、nn8 8 高斯判别法高斯判别法设是严格正项级数，并设=+，则关于级数na1nn aan nnv ln)ln1(nn的敛散性，有以下结论：na（i）如果1，那么级数收敛；如果1，那么级数收敛；如果=1，1，那么级数收敛；如果=1，1;或者 x=1, ,那么级数发散。三三. .总结总结总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路，以及在此基础上对新的证明 方法的探讨，从不同的数学知识思维角度,给出了调和级数发散的八种证明方法； 同时对调和级数的性质也做了进一步的分析讨论，给出了调和级数的一些新的 性质。 最后很感谢费腾老师的悉心教导，让我们就能更好地掌握如何先则数项级数 敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果，使我们对 调和级数本身有了更深入的了解和认识。4.4.参考文献参考文献1高等数学下册/柳翠华,熊德之主编.-北京：科学出版社，2011.92高等数学学习与提高/杨建华,孙霞林,王志红主编.-2 版.-北京:科学出版社,2012.83双比值判别法与对数判别法的比较/杨钟玄. J.四川师范大学学报，2004， （1）：57-60.4一类特殊正项级数的敛散性判定技巧/刘芜健.南京邮电大学学报
