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1、第一讲第一讲 注意添加平行线证题注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平 面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 1 为了改变角的位置为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加 平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例例 1 1 设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BPCQ,A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到使BAPCAQ 时,ABC
2、 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点 A 运动到使BAPCAQ 时,ABC 为等腰三角形. 证明：如图 1,分别过点 P、B 作 AC、AQ 的平行线得交点 D.连结 DA. 在DBPAQC 中,显然DBPAQC,DPBC. 由 BPCQ,可知 DBPAQC. 有 DPAC,BDPQAC. 于是,DABP,BAPBDP. 则 A、D、B、P 四点共圆,且四边形 ADBP 为等腰梯形.故 ABDP.所以 ABAC.这里,通过作平行线,将QAC“平推”到BDP 的位置.由于 A、D、B、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例例 2 2 如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形,BAFBCE.求证
3、：EBAADE. 证明：证明：如图 2,分别过点 A、B 作 ED、EC 的平行线,得交点 P,连 PE.由 AB CD,易知PBAECD.有 PAED,PBEC.显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有 BCEBPE,APEADE.由BAFBCE,可知 BAFBPE.有 P、B、A、E 四点共圆. 于是,EBAAPE. 所以,EBAADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E 四点共圆,紧密联系起来.APE 成为EBA 与ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 2 欲欲“送送”线段到当处线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这
4、两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送” 到恰当位置,以证题. 例例 3 3 在ABC 中,BD、CE 为角平分线,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、AB、BC 的垂线,M、N、Q 为垂足.求 证：PMPNPQ. 证明：证明：如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F,过点 F 作 BC 的平行线分别交 PQ、AC 于 K、G,连 PG.由 BD 平行ABC,可知点 F 到 AB、BC 两边距离相等.有 KQPN. 显然,可知 PGEC.PDEP FDEF GDCG由 CE 平分BCA,知 GP 平分FGA.有 PKPM.于是,PMPNPKKQPQ.这里,通过添加平
5、行线,将 PQ“掐开”成两段,证得 PMPK,就有 PMPNPQ.证法非常简捷. 3 3 为了线段比的转化为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某 些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例例 4 4 设 M1、M2是ABC 的 BC 边上的点,且 BM1CM2.任作一直线分别交 AB、AC、AM1、AM2于 P、Q、N1、N2.试证：.APAB AQAC11 ANAM22 ANAMADBPQC图1PEDGABFC图2A N EBQKG CDMFP图3证明：证明：如图 4,若 PQBC,易证结论成立.
6、 若 PQ 与 BC 不平行,设 PQ 交直线 BC于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于 E.由 BM1CM2,可知 BECEM1EM2E,易知,APAB DEBE AQAC DECE,. 则.11 ANAM DEEM122 ANAM DEEM2 APAB AQAC DECEBE DEEMEM2111 ANAM22 ANAM所以,.APAB AQAC11 ANAM22 ANAM这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为 DE,于是问题迎刃而解. 例例 5 5 AD 是ABC 的高线,K 为 AD 上一点,BK 交 AC 于 E,CK 交 AB 于 F
7、.求证：FDAEDA. 证明：证明：如图 5,过点 A 作 BC 的平行线,分别交直线 DE、DF、BE、CF 于 Q、P、N、M. 显然,.ANBD KAKD AMDC有 BDAMDCAN. (1)由,有 AP. (2)BDAP FBAF BCAM BCAMBD由,有 AQ. (3)DCAQ ECAE BCAN BCANDC对比(1)、(2)、(3)有APAQ. 显然 AD 为 PQ 的中垂线,故 AD 平分PDQ. 所以,FDAEDA. 这里,原题并未涉及线段比,添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使 AP 与 AQ 的 相等关系显现出来. 4 4 为了线段
8、相等的传递为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去. 例例 6 6 在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 M 在 AB 边上,点 N 在 AC 边上,并且MDN90.如果BM2CN2DM2DN2,求证：AD2(AB2AC2).41证明：证明：如图 6,过点 B 作 AC 的平行线交 ND 延长线于 E.连 ME.由 BDDC,可知 EDDN.有BEDCND. 于是,BENC.显然,MD 为 EN 的中垂线.有 EMMN. 由 BM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2,可知BEM 为直角三角形,MBE90.
9、有 ABCACB ABCEBC90. 于是,BAC90.所以,AD2(AB2AC2).221BC41这里,添加 AC 的平行线,将 BC 的以 D 为中点的性质传递给 EN,使解题找到出路. 例例 7 7如图 7,AB 为半圆直径,D 为 AB 上一点,分别在半圆上取点 E、F,使 EADA, FBDB.过 D 作 AB 的垂线,交半圆于 C.求证：CD 平分 EF. 证明：证明：如图 7,分别过点 E、F 作 AB 的垂线,G、H 为垂足,连 FA、EB. 易知 DB2FB2ABHB,APEDCM2M1BQN1N 2图4图5MPAQNFBDCEK图6ANCDEBMAGD O HBFC E图7
10、AD2AE2AGAB.二式相减,得 DB2AD2AB(HBAG),或 (DBAD)ABAB(HBAG). 于是,DBADHBAG,或 DBHBADAG. 就是 DHGD.显然,EGCDFH. 故 CD 平分 EF.这里,为证明 CD 平分 EF,想到可先证 CD 平分 GH.为此添加 CD 的两条平行线 EG、FH,从而得到 G、H 两点.证 明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图 8,三直线 AB、AN、AC 构成一组直线束,DE 是与 BC 平行的直线.于是,有 ,即 或.BNDM ANAM NCME B
11、NDM NCME MEDM NCBN此式表明,DMME 的充要条件是BNNC. 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例例 8 8 如图 9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点 E、F,对角线 BDEF,AC 的延长 线交 EF 于 G.求证：EGGF. 证明：证明：如图 9,过 C 作 EF 的平行线分别交 AE、AF 于 M、N.由 BDEF,可知 MNBD.易知SBEFSDEF.有 SBECSKG *5DFC.可得 MCCN.所以,EGGF. 例例 9 9 如图 10,O 是ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为O 与 BC、CA、AB 的切点.若 O
12、D 与 EF 相交于 K,求证：AK 平分 BC. 证明：证明：如图 10,过点 K 作 BC 的行平线分别交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ、 OE、OF.由 ODBC,可知 OKPQ. 由 OFAB,可知 O、K、F、Q 四点共圆,有 FOQFKQ.由 OEAC,可知 O、K、P、E 四点共圆.有 EOPEKP.显然,FKQEKP,可知 FOQEOP.由 OFOE,可知 RtOFQRtOEP. 则 OQOP.于是,OK 为 PQ 的中垂线,故 QKKP.所以,AK 平分 BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面
13、几何 证题中发挥应有的作用.练练 习习 题题1. 四边形 ABCD 中,ABCD,M、N 分别为 AD、BC 的中点,延长 BA 交直线 NM 于 E,延长 CD 交直线 NM 于 F.求证：BENCFN. (提示：设 P 为 AC 的中点,易证 PMPN.) 2. 设 P 为ABC 边 BC 上一点,且 PC2PB.已知ABC45,APC60.求ACB. (提示：过点 C 作 PA 的平行线交 BA 延长线于点 D.易证ACDPBA.答：75) 3. 六边开 ABCDEF 的各角相等,FAABBC,EBD60,SEBD60cm2.求六边形 ABCDEF 的面积. (提示：设 EF、DC 分别
14、交直线 AB 于 P、Q,过点 E 作 DC 的平行线交 AB 于点 M.所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm2) 4. AD 为 RtABC 的斜边 BC 上的高,P 是 AD 的中点,连 BP 并延长交 AC 于 E.已知 AC:ABk.求 AE:EC.图8ADBNCE M图9AB MEFNDCGAOEPCBFQK图10(提示：过点 A 作 BC 的平行线交 BE 延长线于点 F.设 BC1,有 ADk,DCk2.答：)211 k5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CDAB 于 D,E 为 DB 上一点,过 D 作 CE 的垂线交 CB 于 F.求证：.DEAD FBCF(提
15、示：过点 F 作 AB 的平行线交 CE 于点 H.H 为CDF 的垂心.)6. 在ABC 中,A:B:C4:2:1,A、B、C 的对边分别为 a、b、c.求证：.a1 b1 c1(提示：在 BC 上取一点 D,使 ADAB.分别过点 B、C 作 AD 的平行线交直线 CA、BA 于点 E、F.) 7. 分别以ABC 的边 AC 和 BC 为一边在ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG,点 P 是 EF 的中点.求证：P 点到边 AB 的距离是 AB 的一半.8. ABC 的内切圆分别切 BC、CA、AB 于点 D、E、F,过点 F 作 BC 的平行线分别交直线 DA、DE 于点 H、G.求证： FHHG. (提示：过点 A 作 BC 的平行
