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1、231.81.8 基本数列和收敛原理基本数列和收敛原理定义定义 1.91.9 设是一个数列.若,使得当时, na0, N nN都成立p ,n pnaa则称是 Cauchy 数列或基本数列.显然,收敛数列是基本数列.na引理引理 1.11.1 任意数列必有一个单调子列.证证: : 若严格大于中的每一项,则称数列的一个ka(1)nankkana“龙头”.(1) 假定有无穷多个“龙头”,则子列严格na 1ka 2ka 3,kaL nka递减.(2) 假定只有有限个“龙头”,则,使得当时,每个naNnN都不是“龙头”.令；因为不是“龙头” ，故存在正整数na 1kNaa 1ka使得；又因为不是“龙头”
2、 ，故存在正整数21kk 21kkaa 2ka使得；，于是,子列递减.32kk 32kkaa nka定理定理 1.111.11 (Bolzano-Weierstrass 列紧性定理)任意有界数列必有一个收敛子列.注记注记 1.1. 定理 1.10 是实数完备性或连续性的一种表现形式.10定理定理 1.121.12 (Cauchy 收敛原理)数列收敛的充要条件是它为基本数列.证证: : 只需证充分性.设是基本数列,故,使得都na1Np 成立,这说明是有界数列.由列紧性定理,有 11111NpNaa nana一个子列收敛于 . nkaa,使得当时, 都成立,0, N nNp 2n pnaa24于是
3、当时成立,从而mn2mknaa mmnkknaaaaaa.令便得到,这说明收敛于 . mkaa2m naa2naa数域的完备性或连续性数域的完备性或连续性 称满足 Cauchy 收敛原理的数域是完备的(或连续的).于是,实数域是完备的,而有理数域是不完备的.例例 设是数列.若,和,使得当时成立na0 NANn ,问是否收敛？说明理由. Aanna解: ,和,使得当时成立,从而当0 NANn 2naA时,都成立.于是,当时,都成Nn p 2n paANn p 立.由 Cauchy 收敛原理便知收敛.但要注意,未n pnaanana必以为极限.A练习题练习题 1.81.8（） 1,2(1,2),3
4、(2,4),5,6.38P251.91.9 上确界和下确界上确界和下确界广义实数集的上、下界广义实数集的上、下界 设.若,使得都成立E A xE ,则称有上界,并是的一个上界；若存在使得xAEAEB都成立,则称有下界,并称是的一个下界；称既有xE xBEBE上界又有下界的数集为有界集.显然,数集有界,使得E0M都成立.显然空集是有界集.xE xM定义定义 1.10(1.10(最大数的推广最大数的推广) ) 设非空.当有上界时,若E E满足(1) 是的上界；E(2) 使得,0,xE x则称是的上确界(或最小上界),记为.当无上界时,称EsupEE是的上确界,记为.EsupE 定义定义 1.11(
5、1.11(最小数的推广最小数的推广) ) 设非空.当有下界时,若E E满足(1) 是的下界；E(2) 使得,0,xE x则称是的下确界(或最大下界),记为.当无下界时,称Einf EE是的下确界,记为.Einf E 命题命题 1 1 若非空广义实数集中有最大数(或最小数E maxE),则(或)；若,则minEsupE maxEinf E minE12EE .1212supsup,infinfEEEE例例 1 1 求下列数集的上、下确界26(1) 不是的最小数；sup( , max( , ,inf ( , a bba ba ba( , a b(2) 不是的最大数，不是的最小数；sup inf (
6、3) 不是的最大数，不是sup(0,1)1I (0,1)I inf(0,1)0I 的最小数.(0,1)I 定理定理 1.13(1.13(确界原理确界原理) ) 非空实数集必有上确界和下确界.证证: : (用闭区间套定理证)只需证有上界的非空实数集存在上E 确界即可.任取的一个上界,故满足；当E1b1aE11,a bE I时,令,否则令11 1,2abbEI22,a b11 1,2abb22,a b,故，是的上界；当11 1,2aba22,a bE I2bE时,令,否则令22 2,2abbEI33,a b22 2,2abb33,a b2,a,故,是的上界； .闭区间222ab33,a bE I3
7、bE满足和.,()nnnIabn123IIIL11 10()2nnbaIn 由闭区间套定理,是独点集.下面证就是的上确界.1n nII E(1) ,总成立,故,这说明是的上界.xE nxblimnnxb E(2) 使得.由于,故使0, n na,nna bE IxE 得.这说明就是的上确界.xE注记注记 1.1. 定理 1.13 是实数完备性或连续性的一种表现形式.13命题命题 2 2 设非空.若没有最大数(或最小数),则必存在严格递E E增(或递减)的数列趋向于(或).nxEsupEinf E27证证: : 设无上界.使得；使得；E1xE11x 2xE21max(,2)xx使得； .于是,数
8、列严格递增趋向3xE32max(,3)xxnxE于.supE 设有上界,记.使得；使EsupE1xE11x2xE得；使得2111max(,)22xx3xE321max(,)3xx；,使得. 于是,数1 3nxE11max(,)nnxxn1 n列严格递增收敛于.nxEsupE例例 2(2(的连通性的连通性) )若满足,则,A B ,ABABIAB U或者有中的数列收敛于中的点,或者有中的数列收敛于中的ABBA点(这也是实数完备性或连续性的一种表现形式).证证: : (用确界原理证)取,不妨设,并记,aA bBab,显然.sup( , )Aa bIab(1) .因为不是的最大值,故存在严格递增的数
9、列B , Aa bI收敛于(命题 2),定理得证；nx , Aa bAIB(2) .这时,从而,故存在严格Ab( , AbI( , bB递增的数列收敛于.nx( , bBA练习题练习题 1.9(1.9() ) 1,2,3,4.41P281.101.10 有限覆盖定理有限覆盖定理定义定义 1.121.12 设是指标集(即非空集合),是开区间族.若:JI实数集,则称开区间族覆盖了.AIUJA定理定理 1.14(Heine-Borel1.14(Heine-Borel 有限覆盖定理有限覆盖定理) ) 若开区间族覆盖了有限闭J区间,则必可从中选出有限个开区间,这有限个开区间所组成 , a bJ的族仍然覆
10、盖了. , a b证证: :(用闭区间套定理反证)假定不能被中的有限个开区间所 , a bJ覆盖,则和中必有一个不能被中的有限个开区间 ,2aba, 2abbJ所覆盖,以记之；和中必有一个不能被11,a b11 1,2aba11 1,2abb中的有限个开区间所覆盖,以记之； . 于是,闭区间J22,ab满足和.由,()nnnIabn123IIIL0()2nnbaIn 闭区间套定理,是独点集.取中的开区间使得.因1n nII J 0I 0I为,故当 充分大时,得到矛盾.limlimnnnnab n,nnab 0I注记注记 1.11.1 定理 1.14 是实数完备性或连续性的一种表现形式.4实数完备性或连续性的实数完备性或连续性的 7 7 个等价命题个等价命题Cauchy收敛原理单调有界收敛定理闭区间套定理有限覆盖定理列紧性定理确界原理的连通性29练习题练习题 1.101.10 ( () ) 1,2.43P
