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1、常见的求通项公式类型编辑累加法递推公式为 a(n+1)=an+f(n)，且 f(n)可以求和例：数列an，满足 a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n2-1)，求an通项公式解：a(n+1)=an+1/(4n2-1)=an+1/(2n-1)-1/(2n+1)/2an=a1+（1-1/3+1/3-1/5+1/(2n-3)-1/(2n-1)）an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1)=(4n-3)/(4n-2)累乘法递推公式为 a(n+1)/an=f(n),且 f(n)可求积例：数列an满足 a(n+1)=(n+2)/n an，且 a1=4，求 an解：an/a1=an/a(n-1)a(n
2、-1)/a(n-2)a2/a1=n（n+1）/2an=2n(n+1)构造法将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列1. 适当的进行运算变形例：an中，a1=3,a(n+1)=an2,求 an解：ln a(n+1)=ln an2=2ln anln an是等比数列，q=2，首项为 ln3ln an =(2(n-1)ln3故 an=32(n-1)2. 倒数变换法（适用于 a(n+1)=Aan/(Ban+C),其中，A、B、CR）例：an中，a1=1，a(n+1)=an/(2an+1)解：1/a(n+1)=(2an+1)/an=1/an +21/an是等差数列，首项是 1，公差是 2an=1/
3、(2n-1)3. 待定系数法A.递推式为 a(n+1)=pan+q（p，q 为常数），可以构造递推数列an+x为 以 p 为公比的等比数列，即 a(n+1)+x=p(an+x)，其中 x=q/(p-1) （或者可以把设定的式子拆开，等于原式子）例：an中 a1=1，a(n+1)=3an+4,求 an解：a(n+1)+2=3(an+2)an+2是等比数列 首项是 3，公比是 3an=3n-2B.递推公式为 a(n+1)=pan+qn（p，q 是常数）常规变形，将两边同时除以 q(n+1),得到 a(n+1)/q(n+1)=p/q an/qn+1/q再令 bn=an/qn,可以得到 b(n+1)=
4、kbn+m（k=p/q , m=1/q）之后就用上面 A 中提到的方法来解决C.递推公式为 a(n+2)=pa(n+1)+qan,（p，q 是常数）可以令 a(n+2)=x2 , a(n+1)=x , an=1解出 x1 和 x2，可以得到两个式子a(n+1)-x1an=x2(an-x1a(n-1)a(n+1)-x2an=x1(an-x2a(n-1)然后，两式子相减，左边可以得出 kan 来（k 为系数）右边就用等比数列的方法得出来例：an中，a1=1,a2=2,a(n+2)=2/3 a(n+1)=1/3 an解：x2=2x/3=1/3x1=1,x2=-1/3可以得到方程组a(n+1)-an=
5、-1/3 (an-a(n-1)a(n+1)+1/3 an=an+1/3 a(n-1)解得 an=7/4-3/4(-1/3)(n-1)D.递推式 a(n+1)=pan+an+b（a，b，p 是常数）可以变形为 a(n+1)+x(n+1)+y=p(an+xn+y)然后和原式子比较，可以得出 x，y，即可以得到an+xn+y是个 以 p 为公比的等比数列例：an中，a1=4， an=3a(n-1)+2n-1(n2)解：原式=an+n+1=3a(n-1)+(n-1)+1an+n+1为等比数列，q=3，首项是 6an=23n-n-14. 特征根法递推式为 a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D) （
6、A，B，C，D 是常数）令 a(n+1)=an=x,原式则为 x=(Ax+B)/(Cx+D)(1)若解得相同的实数根 x0，则可以构造数列1/(an-x0)为等差数列例：an满足 a1=2，a(n+1)=(2an-1)/(4an+6),求 an解：x=(2x-1)/(4x+6)解得 x0=-1/21/(an+1/2)=1/(2a(n-1)-1)/(4a(n-1)+6) +1/2=1/a(n-1)+1/2 +11/(an+1/2)是等差数列，d=1，首项是 2/5an=5/(5n-3) -1/2(2)若解得两个相异实根 x1,x2,则构造(an-x1)/(an-x2)为等比数列（x1,x2 的位
7、置没有顺序，可以调换）例：an满足 a1=2，a(n+1)=(an+2)/(2an+1)解：由题可得(an-1)/(an+1)=-1/3 a(n-1)-1/a(n-1)+1则(an-1)/(an+1)是等比数列，q=-1/3，首项是 1/3an=1+(-1)(n-1) (1/3)n/1-(-1)(n-1) (1/3)n(3)如果没有实数根，那么这个数列可能是周期数列例：an中，a1=2,满足 a(n+1)=(an-1)/an(n2)解：a1=2 , a2=1/2 , a3=-1 , a4=2 , a5=1/2 所以 an=2（n MOD 3=1），1/2（n MOD3=1），1（nMOD3=0）（准确的应该是有大括号像分段函数那样表示，但是这里无法显示）连加相减，连乘相除例：an满足 a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)解：令 bn=a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)an=3（n+1）
