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1、一、棱锥的内切、外接球问题一、棱锥的内切、外接球问题 例例 1.1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系 解之。解之。解：如图解：如图 1 1 所示，设点所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的由图形的Oa 对称性知，点对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为，外接球半径为OrR正四面体的表面积正四面体的表面积223434aaS体正四面体的体积
2、正四面体的体积2222 123 43 31BEABaAEaVBCDA3222 122 33 123aaaa ， BCDAVrS体31QaaaSVrBCDA 12631223323 体在在中，中，即，即，得，得，得，得BEORt222EOBEBO222 33raR aR46rR3【点评点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( ( 为正四面体的高为正四面体的高) )，且外接球的半径，且外接球的半径4hh，从而可以通过截面图
3、中，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。建立棱长与半径之间的关系。43hOBERt例例 2 2设棱锥设棱锥的底面是正方形，且的底面是正方形，且，如果，如果ABCDM MDMA ABMA 的面积为的面积为 1 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. .AMD解：解： 平面平面，ABMAABADAB,QMAD由此，面由此，面面面. .记记是是的中点，的中点，MADACEAD从而从而. .平面平面，ADME MEACEFME 设球设球是与平面是与平面、平面、平面、平面、平面都相切的球都相切的球. .如图如图OMADACMBC2 2，得截面图，得截面图及
4、内切圆及内切圆MEFO不妨设不妨设平面平面，于是，于是是是的内心的内心. .OMEFOMEF设球设球的半径为的半径为，则，则，设，设, ,. .OrMFEMEFSrMEF 2aEFAD1AMDSQ图 2图 1, ,2 22,2aaMFaEM1222222222 2aaaar当且仅当当且仅当，即，即时，等号成立时，等号成立. .aa22a当当时，满足条件的球最大半径为时，满足条件的球最大半径为. . 2 MEAD12 练习：一个正四面体内切球的表面积为练习：一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体的棱长。，求正四面体的棱长。 （答案为：（答案为：）32【点评点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面
5、的切点位置，作出截面图是解题的关键。根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。二、球与棱柱的组合体问二、球与棱柱的组合体问题题1 1 正方体的内切球：正方体的内切球：球与正方体的每个面都相球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为方体的棱长为，球半径为，球半径为。aR如图如图 3 3，截面图为正方形，截面图为正方形的内切圆，得的内切圆，得；EFGH2aR 2 2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切
6、点为各棱的中点，如图 4 4 作作截面图，圆截面图，圆为正方形为正方形的外接圆，易得的外接圆，易得。OEFGHaR223 3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5 5，以对角面，以对角面作截面作截面1AA图得，圆图得，圆为矩形为矩形的外接圆，易得的外接圆，易得。OCCAA11aOAR231例例 3.3.在球面上有四个点在球面上有四个点、. .如果如果、两两互相垂直，且两两互相垂直，且PABCPAPBPC, ,那么这个球的表面积是那么这个球的表面积是_. .aPCPBPA解：由已知可得解：由已知可得、实际上就是球内接正方体中交于一点
7、的三条棱，正实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正PAPBPC方体的对角线长就是球的直径，连结过点方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线的一条对角线，则，则过球心过球心，对角线，对角线CCDCDOaCD3图 3图 4 图 522 3234aaS 体体体体练习：一棱长为练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱a2适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为） 3326243aaV4 4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题构造直三角形，巧解正棱柱与球的
8、组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面 一顶点构成的直角三角形便可得球半径。一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例例 4.4.已知三棱柱已知三棱柱的六个顶点在球的六个顶点在球上，又知球上，又知球与此正三棱柱的与此正三棱柱的 5 5111CBAABC 1O2O个面都相切，求球个面都相切，求球与球与球的体积之比与表面积之比。的体积之比与表面积之比。1O2O分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图解：如图 6
9、6，由题意得两球心，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们和它们1O2O1AA的球心作截面，设正三棱柱底面边长为的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，则a，正三棱柱的高为，正三棱柱的高为，由，由aR632aRh3322中，得中，得ODARt112222 222 1125 63 33 33aaaRaR ，aR1251，1:5:2 22 121RRSS1:55:21VV练习：正四棱柱练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的的球面上，求正四棱柱的1111DCBAABCD R侧面积的最大值。侧面积的最大值。 （答案为：（答案
10、为：）224R【点评点评】 “内切内切”和和“外接外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是 指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的 截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。典型例题典型例题 1球的截面球的截面例例 1 球面上有三点球面上有三点、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中
11、ABC ，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面18AB24BC30AC 积积分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面是截面ABC图 6的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式从而可由关系式求出球半径求出球半径222dRrR解：解：，18AB24BC30AC，是以是以为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形222ACBCA
12、BABCAC的外接圆的半径为的外接圆的半径为，即截面圆的半径，即截面圆的半径，ABC1515r又球心到截面的距离为又球心到截面的距离为，得，得Rd2122215)21(RR310R球的表面积为球的表面积为1200)310(4422RS说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两解题，我们可以通过两22dRr个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量【练习练习】过球过球表面上一点表面上一点引三条长度相等的弦引三条长度相等的弦、，且两两夹角都，且两两夹角都OAABACA
13、D 为为，若球半径为，若球半径为，求弦，求弦的长度的长度60RAB 由条件可抓住由条件可抓住是正四面体，是正四面体，、为球上四点，则球心在正四面为球上四点，则球心在正四面BCDAABCD体中心，设体中心，设，则截面，则截面与球心的距离与球心的距离，过点，过点、的截面的截面aAB BCDRad36BCD圆半径圆半径，所以，所以得得ar33222)36()33(RaRaRa362典型例题典型例题 2球面距离球面距离 例例 2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ） A有且只有一个有且只有一个 B一个或无穷多个一个或无穷多个 C无数个无数个 D以上均不正以上
14、均不正 确确 分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论当三点不共线时，可以作一分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论当三点不共线时，可以作一 个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选 B例例 3 球面上有球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过，经过 3 个点个点61的小圆的周长为的小圆的周长为，求这个球的半径，求这个球的半径4 分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解设球的半径为设球的半径为，小圆的半径为，小圆的半径为，
15、则，则，Rr42r2r 如图所示，设三点如图所示，设三点、，为球心，为球心，ABCO又又，是等边三角是等边三角362COABOCAOBOBOAAOB形，同样，形，同样，、都是等边三角形，得都是等边三角形，得为等边三角形，边长等为等边三角形，边长等BOCCOAABC于球半径于球半径为为的外接圆半径，的外接圆半径，RrABCRABr33 333233rR说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面 体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得 的好题的好题例例 4 、是半径为是半径为的球的球的
