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1、函数的解析式、定义域、值域与最值问题函数的解析式、定义域、值域与最值问题1.函数解析式：函数解析式：函数解析式的求法：函数解析式的求法：代入法；代入法；待定系数法；待定系数法；换元法或配方法；换元法或配方法；方程方程 组法；组法；赋值法赋值法 代入法代入法例：例：已知，则。2( )1f xx222()()1f xxxx 待定系数法待定系数法例：例：已知二次函数满足求。2(31)965,fxxx( )f x例例 设二次函数满足且图象在 y 轴上的截距为 1，被 x 轴截( )f x(2)(2),f xfx 得的线段长为，求的解析式。2 2( )f x练习题：练习题：1、 设二次函数满足且的两实根
2、平方和为，图象( )f x(2)(2),f xfx( )0f x 经过点（，） ，求的解析式。( )f x2、 已知，求一次函数的解析式。( ( )43f f xx( )f x3、 已知为一次函数，且，求解析式。( )f x( )2g xx2( )( )32f x g xxxg( )f x4、 已知函数，求。2(1)32f xxx(1)f x5、 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图1( )yf x(1,1)2( )yfx象与直线的两个交点间距离为 8，。求的解析式。yx12( )( )( )f xf xfx( )f x 配凑法或换元法配凑法或换元法例例 1.已知，求。 2.
3、已知求2(1)21f xxx( )f x211(1)1,fxx( ).f x练习题：练习题：1、求函数解析式：（1）（2）2 211();f xxxx211(1)1fxx2、已知，求。2( )2f xxx(21)fx3、已知，则的解析式可取为（ ） 。2211()11xxfxx( )f x、 、 、 、21x x22 1x x22 1x x21x x4、已知，求。 5、已知，求22111()xxfxxx( )f x(1)2fxxx。( )f x方程组法方程组法例例 函数满足求( )( 1,1)f x x 2 ( )()lg(1).f xfxx( ).f x练习题：练习题：1、 已知，求。1(
4、)2 ( )32f xfxx( )f x2、 求函数解析式：满足关系式( )f x1( )2 ( )3f xfxx3、 已知求221( )( )( , ,0,),af xbfcx a b cR ababx( ).f x赋值法赋值法例若例若是定义在 R 上的函数，且，并且对于任意的实数总有( )f x(0)1f, x y，求的解析式。()( )(21)2yf xf xyxy( )f x练习题：练习题：1、设是定义在实数集 R 上的函数，满足，且对任意实数有( )f x(0)1f, ,a b求。()( )(21).f abf abab( )f x2.函数定义域：函数定义域：例例 1 求下列各函数的
5、定义域：（1） （2） 2lg(|); 1xxy x 225lgcos .yxx例例 2 若函数的的定义域是-1，1，求的定义域。(2 )xf2(log)fx练习题：练习题：1、函数的定义域是_，24( )3xf xxx函数的定义域是_，1( )3lg(4)sinf xxxx函数的定义域为_，3 (21)( )log32xf xx函数的定义域为_。1( )11f xx 2、函数的定义域是（ ）ln(1) 1xyx、 、 、 、|1x x |1x x |1x x |1x x 3、函数的定义域是_。0(1)( )xf xxx4、设和的定义域依次为和，则( )f x 211x2 1 2( )log
6、(26)g xxx（ ）()RMC N、 、 （，） 、 、1 2, 2 31 2(, )2 312( 1, ,1)23 5、若函数的定义域是，求的定义域。(1)yf x 2,3(21)yfx逆向思维：已知函数的定义域，求其参数的取值范围。逆向思维：已知函数的定义域，求其参数的取值范围。例例 函数的定义域是 R，求实数 k 的取值范围。269ykxkx练习题：练习题：1、当 k 为何值时，函数的定义域为全体实数。27 3kxykxkx2、已知函数的定义域为，求实数 m 的取值范围。2( )68f xmxmxm3、已知函数的定义域为 R,求实数的取值范围。22lg(1)(1)1yaxaxa利用分
7、类讨论的思想，求含有参数的解析式的定义域。利用分类讨论的思想，求含有参数的解析式的定义域。例例设函数的定义域为， ，求函数( )yf x的定义域( )()()(0)F xf xaf xa a练习题：练习题：1、已知函数的定义域是，且，求下列各函数的定义域：( )f x , a b0ab（1） （2）； （3）2();f x( )( )().g xf xfx( )(31)(31)F xfxfx2、已知函数的定义域为，求函数的定义域。( )f x(0,1)( )()()g xf xaf xag(0)a 3、已知函数的定义域为，求函数的定义域。( )f x11 |22xx()( )(0)xf axf
8、aa3.函数值域与最值函数值域与最值1、值域为的函数是( )(0,)A. B. C. D. 21yxx11( )3xy1 231xy2 2logyx2、函数的值域是,则与的大( )(0,)xf xaaxR ( )|0( )1f xf x( 2)f (1)f小是( )A. B. C. D. 无法确定的( 2)(1)ff( 2)(1)ff( 2)(1)ff常见求值域的方法：常见求值域的方法： 观察法；观察法；换元法；换元法；判别式法；判别式法；配方法；配方法；反表示法（反函数法）反表示法（反函数法） ；数形结合与重要不等式法；数形结合与重要不等式法；利用函数的有界性；利用函数的有界性；单调性。单调
9、性。 观察法观察法如：如：求函数的值域时，由及知，24yx20x 240x240,2x故所求的值域为。0,2求函数的值域。2221( )1xf xx 换元法换元法 例例 求下列各函数的最值。（1）； （2）21 2yxx249.yxx练习题练习题：1. 函数的值域是_；函数的值域是221yx21yxx_；函数的值域是_;函数的值域是531yxx1yxx_；2.已知,求的最值。224xy43xy3、函数，其中，求函数的值域。( )( )1 2 ( )f xg xg x3 4( ) , 8 9g x ( )f x判别式法判别式法例求函数的值域。22247 23xxyxx练习题练习题：1、 求函数的
10、值域。 2.求函数的值域。22 1xyx22225 1xxyxx配方法配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函2( )( )( )F xa fxbf xc数的值域问题，均可使用配方法。例例 已知，求函数的值域。3( )2logf xx1,3,x22 ( )()yf xf x练习题：练习题：1、函数的最大值为_。yxx(0)x 2、求函数的值域。221( )1f xxx (0)x 3、已知,求函数的最值。1sinsin3xy2sincosuxy4、求函数的值域。232 33xxy g反表示法（反函数法）反表示法（反函数法）例例 求函数的值域。51,42xyx 3, 1x 练习题：练
11、习题：1.已知函数的反函数是,那么函数的值域为 ( )yf x1( )1(0)fxxx( )f x2.函数的值域是_； 函数的值域是_;3(0)12xyxx2 34xyx3.求函数的值域。(0)cxdyaaxb 数形结合与重要不等式法数形结合与重要不等式法例 求函数的最小值。22(3)16(5)4yxx例例 求下列函数的值域。； （2）23(1)4xyx3loglog 3 1xyx练习题练习题：1、求函数的最小值。16)12(1)(22xxxf2、求的最大值。 3、求的值域。sin 2cosxyx3sin 42cosxyx4、对于每个实数,设是, 和三个函数中的最x( )f x41yx2yx2
12、4yx 小值，则的最大值是（ ）( )f xA. B. 3 C. D. 8 32 31 25、求函数的值域。221(1)1xxyxx6、函数的值域是（ ）0.51log(1)(1)1yxxxA. B. C. D. (,2(, 2 2,) 2,)利用函数的有界性利用函数的有界性例例 求函数的值域。 求函数的值域。21 21xxysin 2cosxyx练习题练习题：1、函数的值域是_。 2、函数的值域是221 1xyx1 1xxeye_。3、求的值域。 4、求的值域。sin 2cosxyx1 sin 32cosxyx 单调性法单调性法 练习题：练习题：1、函数，时的值域是（ ）241yxx 3,3
13、x A B. C. D. (,55,) 20,54,52、已知函数，当时，的值域是_；2( )26f xxxc1,3x( )f x当时，的值域是_；当时，的值域是 1,1x ( )f x3,5x( )f x_。2、函数的值域是_；3、函数的值域是25 243yxx223yxx_；4、综合应用、综合应用关于恒成立问题的求解。关于恒成立问题的求解。恒成立； 恒成立。( )f xamin( )fxa( )f xamax( )fxa 逆向思维，等价转化逆向思维，等价转化 练习题：练习题：1、设集合,| 10,Pmm 2|440QmR mxmxx 对任意实数恒成立则下列关系中成立的是( )A. PQ B.QP C. D.PQPQ I2、已知函数的值域为,求实数的值。21axbyx 1,4, a b3、若函数的值域是，求实数
