几何学的发展

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1、几何学的发展几何学的发展一、近代射影几何一、近代射影几何综合几何的发展综合几何的发展自从笛卡儿等人创立解析几何以后，代数的和分析的方法统治着几何学，综合的方法受到了排 斥但是，优美而直观、清晰的几何方法，一直吸引着不少几何学家19 世纪初，不少著名的数学家 指出，综合几何用综合的方法对几何进行的研究被不公平、不明智地忽略了，因此应该积极努力 地来复兴和扩展综合几何以庞斯列(JVPoncelet，17881867)为代表的几何学家放弃分析的方法，采用纯粹几何的方 法进行探讨他们取得了丰硕的成果，这些成果在 19 世纪早期是几何学的主流为了和笛卡儿的解析 几何以及欧几里得几何有所区别，人们称之为近

2、代综合几何实际上，这种近代综合几何是 17 世纪帕斯卡、德扎格等人开创的射影几何的复兴，因而又被人称 为近代射影几何综合的欧几里得几何学在 19 世纪初取得了一些新成果，产生了数以百计的新定理19 世纪综合几何的主要成就是射影几何学的复兴射影几何学在 17 世纪曾有过突出的成就，但 却被解析几何、微积分淹没了数学家们经过论战，终于在 19 世纪为综合几何赢得了较高的地位综合几何尤其是射影几何在 19 世纪的兴起主要应归功于以蒙日(GMonge，17461818)为首的法 国数学家他是法国拿破仑时代数学界的导师，也是一位优秀的教师，大批的优秀几何学家都是在他 的直接教导和影响下成长起来的，其中就

3、有庞斯列和卡诺射影几何学的复兴始于卡诺(LNMCarnot，17531823)，他是蒙日的学生，物理学家 S卡 诺的父亲他是受蒙日的影响研究几何学1803 年，出版了位置几何学(Gom-trie de Position)，1806 年版了横截线论(Essai SurLa thorie des transversales)，在这些书中，他 导出了完全四边形和完全四角形的性质，并且引入了种种有价值的射影几何理论，他试图证明射影几 何方法并不比解析几何方法逊色庞斯列在俄罗斯的监狱中给纯粹的几何方法注入了新的生命力1822 年，他的研究成果图形的 射影性质(Trait desproprits proj

4、ectives des figures)在巴黎出版这本书内容极为丰富， 它所研究的是那些在射影时保持不变的性质平面图形的某些度量性质(如距离、角度)在投影时有所 变化，但有些却不变，如四条相交于一点的直线被一截线所割，截点分别是 A，B，C，D，则(ABBC) (ADDC)不变他称(ABBC)(ADDC)为点列的反调和比或交比他详细讨论了交比、射影对应、 对合变换、圆上虚渺点等基本概念庞斯列在射影几何方面的工作以三个观念为中心：(1)透射的图形；(2)连续性原理；(3)圆锥曲线 的极点与极线以这些观念为中心，他奠定了射影几何的基础19 世纪射影几何的一个重要成就是建立了对偶(duality)原

5、理庞斯列等人认识到，涉及平面图 形的定理，如果把“点”换成“线”、“线”换成“点”，重述一遍，不但话谈得通，而且竟是正确 的这是为什么呢？为此数学家们展开了争论，庞斯列队为配极关系是其原因热尔岗(JosephDiez Gergonne，17711859)则坚决主张对偶原理是一个普遍性原理，适用于除 了涉及度量性质之外的一切陈述和定理，配极关系是不必要的中介他首先引入“对偶性”这个术语 来表示原定理与新的对偶定理之间的关系他还注意到在三维的情形中点与面是对偶的元素，线的对 偶元素是自身热尔岗发明了把对偶的定理写成两栏的格式，把对偶的定理并排写在原来命题的旁边下面我们 看看德扎格定理及其对偶：德扎

6、格定理 德扎格定理的对偶如果有两个三角形，联接对应顶点的线过同一个点 O，那么对应边相交的三个点在同一条 线上 如果有二个三角形，联接对应边的点在同一条线 O 上， 那么 对应顶点相连的三条线过同一个 点 我们看到德扎格定理的对偶也是正确的，实际上它是原来定理的道定理瑞士数学家施泰纳(JSteiner，17961863)建立了射影几何学的严密系统，他把卡诺在完全四 边形方面的工作推广到空间多边形，完成了点列、线束、二项曲线及曲面的理论，讨论了圆锥曲线的 种种性质其主要著作是 1832 年出版的几何形的相互依赖性的系统发展(Systematische Entwicklungder Abh ngi

7、gkeit geometrischen Gestalten Voneinaader)，这本书的主要原理是运用 射影的概念从简单的结构(如点、线、线束、面、面束)建造出更复杂的结构1867 年他又对射影几何 的原理作了详细说明施泰纳从开始研究几何时就使用对偶原理，他把圆锥曲线的对偶化称为线曲线，把作为点的轨迹 的通常的曲线称为点曲线，点曲线的诸切线是一条线曲线在圆锥曲线的情形就构成对偶曲线利用 圆锥曲线的对偶概念，可以把许多圆锥曲线定理如帕斯卡定理换成其对偶命题沙勒(MChasles，17931880)指出，从对偶原理来看，在射影几何中线可以同点一样基本他 引进了一些新的术语，如把“交比”称为“

8、非调和比”，称将点变成线、线变成点的变换为对射，等 等长期以来，人们对射影几何与欧氏几何的关系一直不清楚1847 年，德国数学家斯陶特 (KGCVStaudt，17981867)出版的位置几何学(Geometrie der Lage)澄清了这方面的关 系，他指出，射影几何完全可以摆脱长度的概念例如：“交比”是一个基本概念，他地不依靠长度和迭合的概念就得到了建立射影几何的基本工具因此，他指出射影几何学实际上比欧 氏几何还基本，射影几何学是与距离和角的大小无关的学科，欧氏几何实际上可以看作射影几何的特 例这样，斯陶特完全摆脱了代数和度量的关系，建立了“纯粹”的综合几何理论射影几何从古希腊起就已出现

9、，17 世纪德扎格、帕斯卡又进一步发展了，到 19 世纪中叶，已经 发展成了一门十分成熟的学科，占据着几何学乃至数学的重要地位二、非欧几何的建立二、非欧几何的建立从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全不能满 足人们的审美要求这条公设冗长，一点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相 称了于是，许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没有成功尽管如此，19 世 纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗克洛斯(Proclus，约公元 412485 年)、沃利斯、 萨凯里(GSaccheri，16671733)、克莱罗、兰伯特、

10、勒让德、普雷菲尔(JPlayfair，1748 1819)等等萨凯里的工作最值得重视，在 1733 年发表的论文中，他从一个四边形 ABCD 开始，其中 A 和 B 是 直角，且 ACBD，(图 132)易证CD，欧氏几何平行公设相当于C，D 是直角这个论断，于 是他在下列两种情形中选择：(1)钝角假设：C、D 是钝角；(2)锐角假设：C、D 是锐角他首先证明第 1 种情形不可能其次，他在考虑第二个假设时，没有得到任何矛盾，并且得到了 许多有趣的定理，本来这种没有矛盾的系统完全可以宣称是一种新几何，但他缺乏理论勇气，以“结 论不合情理”而否认了胜利的果实滑到嘴边又溜走了数学王子高斯在 18 世

11、纪就知道要证明平行公设是徒劳的，并且在 15 岁时已经掌握了能够存在一 种逻辑几何的思想，其中欧氏平行公设不成立，他在思想上是非常解放的，丝毫不会为传统观念所左 右，也不为科学泰斗所吓倒从 1813 年他就开始发展新几何，起初他称反欧几何(anti-Euclidean Geometry)，星空几何，最后称非欧(NonEuclidean)几何，他认为非欧几何在逻辑上是相容，并且具 有欧氏几何一样的可应用性但他在行动上一向谨小慎微，怕受人奚落，不为人理解，不敢发表离经 叛道的、但被他认为是正确的学说1826 年 2 月 12 日，俄国学者罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了论几何原理一文，宣 告了非

12、欧几何的创立18351837 年，他发表具有平行的完全理论的几何新基础，较好地表达了 他的思想，他称他的新几何为“虚几何”1840 年用德文出版了平行理论的几何研究 (GeometrischeUntersuchungenZurTheoriederparalle-llinien)，在双目失明后仍口授出一部关于 他的几何的完全新的说明，于 1855 年以泛几何而出版几乎与此同时，匈牙利军官波尔约(JBolyai)在 1825 年左右已建立起非欧几何思想，并于 18321833 年以绝对空间的几何一文作为其父沃夫冈波尔约(WolfgangBolyai，17751856) 为好学青年的数学原理论著的附

13、录出版了他的工作与罗巴切夫斯基的工作一起分别创立了非欧几何高斯、罗巴切夫斯基、波尔约都认识到欧氏平行公设不能在其他公设基础上证明，平行公设是欧 氏几何中独立的和必不可少的，非欧几何就是采取一个与平行公设相矛盾的命题，并从与此组成的一 组新公理中，重新建立一种几何罗巴切夫斯基放弃了平行公设，提出了“罗氏平行公设”：过定直线外一定点有无数条定直线的 平行线，并按如下方式建立新几何：“设想从一点(C)作垂线 垂直于已知直线(AB)，并从该点向直 线作平行线；记 F()为 和平行线间的角”在图 133 中，过点 C 的所有直线关于直线 AB 可以分成两类，一类直线与 AB 相交，另一类不相交直线 p

14、与 q 属于后一类，构成相交与不相交两类直线的边界F()是 AB 的垂线 与过 C 的 AB 的平行线间的角， 称为平行角在罗巴切夫斯基几何中，过 C 与 AB 平行的直线有无穷条这正与欧氏几何中“过定直线 外一定点只有一条定直线的平行线”形成了鲜明对照角形的内角之和恒小于 ，且随着三角形面积的增大而减小，当面积趋于零时，它就趋于 “假设三角形内角和小于 ，就导致出圆随半径的增长不趋于直线，而趋于一特种曲线，我们称它为 极限圆球面在这种情况下也趋向于一曲面，类似地，我们称它为极限球面”对于图 134 中的球面三角形，他给出了公式ctgF()=ctgF(c)sinA，sinAcosB sinF(

15、b)，sinF(c)sinF(a)sinF(b)“一般说来，在直角三角形中，a，b 为直角边，-2 为各角和，则有因而三角形越小，它的各角之和同两直线的区别越小”根据对无穷小三角形的研究，罗巴切夫斯基还得出了曲线 yf(x)在(x，y)处的弧微分公式于是，半径为 r 的圆周长 c=(ere-r)，圆面积 A( 随后，他还建立了非欧空间的解析几何和微分几何的原理非欧几何的一种形式罗巴切夫斯 基几何已经建立起来，“无论如何，新的几何学，它的基础已在此被规定，如果不存在于自然界中， 那也可以存在于我们的虚想之中，它无助于实际测量，但对几何学和分析学的互相利用，却开拓了一 个新的、广阔的领域”非欧几何的诞生在数学史上具有十分重大的意义它使人们认识到，平行公设不能在其它公设的 基础上证明，它是独立的命题，因而可以采用一个与之矛盾的公理并进而发展成为全新的几何三、微分几何三、微分几何19 世纪微分几何的主要成就是柯西、高斯和黎曼做出的不仅如此，高斯还提出了一个全新的概 念：一张曲面本身就是一个空间，这个概念随后为黎曼所推广并且由此确立了罗巴切夫斯基几何的 “合法”地位，从而在非欧几何中开辟了新的发展道路空间曲线理论在 19 世纪日趋完善1826 年，柯西在他的名著无穷小计算在几何上的应用教程 (Applications du Cal-cul infinitsima