《几个空间向量公式就在这里了》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几个空间向量公式就在这里了（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1空间向量知识点空间向量知识点空间向量的有关概念和公式空间向量的有关概念和公式空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间概念如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。坐标 表示，, OA uu u r111( ,)ax y zr OB uuu r222(,)bxyzr212121(,)ABxx yy zzuuu rABBA uuu ruu u r运算则，121212(,)abxxyyzzrr121212(,)abxxyyzzrr，111(,)()axyzRr12121 2|cos,a ba ba bx xy yz zr rrrr r定比 分点 公
2、式设点P分有向线段所成的比为，即，1PPuuu r2PPuuu r，（）12 1xxx 12 1yyy 12 1zzz 1R且中点公式：，12 2xxx12 2yyy12 2zzz三角形重心公式：，123 3xxxx123 3yyyy123 3zzzz模，则 =111( ,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zzuuu r|ABuuu r2 212 212 21)()()(zzyyxx= ；= ；= ; =ar ( , , )x y z|ar222xyz2|ar2ar |ar ar平行，112233/,()abab ab abRrr（或=）12x x12y
3、y12z z垂直 （）1 122330abx xy yz zrr 0,0abrr rr夹角 cos = =|a b a bru r rr1 12233222222 111222x xy yz zxyzxyz建立空间直角坐标系常用方法：建立空间直角坐标系常用方法：1 1、底面是正方形，常以底面两条邻、底面是正方形，常以底面两条邻 边为边为 轴，轴，轴；轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为、底面是菱形，常以底面两条对角线为 轴，轴，轴；轴；xyxy 3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为 轴，轴，轴；轴；4、底面、底面xy 为平行四边形，常以一条
4、边为为平行四边形，常以一条边为 轴，并作一条与这一条边垂直的直线作轴，并作一条与这一条边垂直的直线作x 为为轴。轴。y2nCB AnBAn2 - 11 11 1n1 - 11 11 1OPaFbEnnP OA空间向量的应用（空间向量的应用（1）方法分类方法分类图形图形1、求平面、求平面的法向量的法向量若，),(111zyxAB ),(222zyxAC ，AABACI是平面的法向量，),(,zyxnACABr设则 0000222111 zzyyxxzzyyxxACnABnrr（取，得到其中的一组解：0xx ),(000zyxn r而常取简单整数）000,zyx2、证明线面平行、证明线面平行设是平
5、面的法向量，则：nrAB0|nABABr3、证明面面垂直、证明面面垂直设分别是平面的法向量, 则：21,nnrr,021nnrr4、求两条异面直线间的距离、求两条异面直线间的距离 先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长设、是异arbr面直线，是、的公共法向量，点，则nrarbrbFaErr ,异面直线、之间的距离arbrnnEF drr 5、求点到平面的距离、求点到平面的距离 设为平面外一点，点为平面内的任一点，平面PA的法向量为，过点作平面的垂线，记nrPPO ，则点到平面的距离：OPAPnPAnPAnPAn PAPAPOdrrrr cos因
6、此，点到平面的距离： PnPAn drr 3ADBCnPOAn2n1n1 A CDB空间向量的应用（空间向量的应用（2） 方法图形6、求直线和直线所成的角、求直线和直线所成的角若直线所成的角是，CDAB,CDABCDAB CDAB ,coscos7、求直线和平面所成的角、求直线和平面所成的角已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向PAnr 量，过作平面的垂线，连结，则为PPOOAPAO斜线和平面所成的角，记为，易得PAPAnPAn APnAPOP rr r,cos,cossin8、已知两平面的法向量、已知两平面的法向量, 求二面角的大小求二面角的大小在二面角中，和分别为平面和的法l1n2n向量，
7、若二面角的大小为，则：l2121 21,coscosnnnnnnrrrr(依据两平面法向量的方向或实际图形，来确定是锐角 或是钝角)8、已知二面角棱的两垂线、已知二面角棱的两垂线, 求二面角的大小求二面角的大小在二面角内， lCDlABAB,设为二面角的大小，则：, lCD lCDABCDABCDAB ,coscos4C1B1A1ABC例题：例题： 1、如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 DC 的中点，取如图所示的空间 直角坐标系（1）写出 A、B1、E、D1的坐标；（2）求 AB1与 D1E 所成的角的余弦值 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0,
8、2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)(2) (0, -2, 2)，(0, 1, 2) AB1ED1|2，|，0242,AB12ED15AB1ED1 cos ， AB1与 ED1所成的角的余弦AB1ED122 2 51010值为10102、在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 CA平面 ABB1A1，ABAA11.(1)求证：A1B 平面 AB1C；(2)若 AC2，求点 A 到平面 BB1C1C 的距离；(3)若二面角 BB1CA 为 600，求 AC 的长.（1）证：11111ABCABCCA 11是正三棱柱平面ABBA中点AB=AA11ACABACABA I1111AB四边
9、形ABBA是正方形ABA1B平面 AB1C （2）解：平面 ABC平面 BB1C1C，点 A 到平面 BB1C1C 的距离即为 A 到 BC 的距离， 作 ADBC，BC，A 到平面 BB1C1C 的距离 AD5AB AC BCg2 52 5 5（3）解：（空间向量法）以 A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 A-BA1C，则 B（1，0，0） ，B1（1，1，0） ，C（0，0，c） ，平面 AB1C 法向量（1，1，0） ，平1nu r面 BB1C 法向量（x，y，z） ，=（0，1，0）, =（1，0，c）, 2nu u r1BBuuu rBCuuu r,令 z=1,则 xc，（c，0，1） ，0 0y xcz 2nu u rCos600，解得1212| |n n nnu ru u r u ru u r 2|21ccg1 2221cc g1 222422cc5c1， 所以 AC 长为 1 。
