二次函数29个难题的解法

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1、二次函数精选1 1、如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，C=60，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动 点 Q 同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也 随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时PDQ 的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.2、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格 20 元/千克收购了这种野生菌 1000 千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1

2、元；但冷冻存放这批野生 菌时每天需要支出各种费用合计 310 元，而且这类野生菌在冷库中最多保存 160 元，同时，平均每天有 3 千克的野生菌损坏不能出售 （1）设到后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式xyyx （2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的xPPx 函数关系式 （3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？W （利润销售总额收购成本各种费用）3 3、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好某一天他利用 30 分钟 时间进行自主学习假设他用于解题的时间（单位：分钟）与学习收益量的关

3、系如图甲所示，用于xy 回顾反思的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图乙所示（其中是抛物线的一部分，xyOA 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间A （1）求王亮解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；yxx （2）求王亮回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间之间的函数关系式；yx （3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这 30 分钟的学习收益总量最大？ （学习收益总量解题的学习收益量回顾反思的学习收益量）OOyyxxA2515第 28 题图图甲图乙4254 4、如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点

4、，与 y 轴交于点 C（0，3）。 求抛物线的解析式； 设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是等腰三角形？若存在， 求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在，请说明理由; 若点 M 是抛物线上一点，以 B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐标。第 26 题图xyAMPDOBC5 5、如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，A2xxBOA抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到2xy OOA2xPM点时停止移动A （1）求线段所在直线的函数解析式；OA （2）设抛物线顶点的横坐标为,Mm 用的代数式表

5、示点的坐标；mP 当为何值时，线段最短；mPB（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使PBQQMA的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若PMAQ不存在，请说明理由yB OAPMx2x （第 24 题）6.（2008 年大连）如图 18，点 C、B 分别为抛物线 C1：，抛物线 C2：12 1 xy的顶点分别过点 B、C 作 x 轴的平行线，交抛物线 C1、C2 于点 A、D，且 AB = 222 22cxbxayBD 求点 A 的坐标；如图 19，若将抛物线 C1：“”改为抛物线12 1 xy“”其他条件不变，求 CD 的长和的值112 12cxbxy2a附加题：如图 19，若

6、将抛物线 C1：“”改为抛物线12 1 xy“”，其他条件不变，求的值112 11cxbxay21bb ABCDOxy 197.如图 10，直线和抛物线都经过点 A(1，0)，B(3，2)mxycbxxy2求 m 的值和抛物线的解析式；求不等式的解集(直接写出答案)mxcbxx2OyxBA8.如图（1），已知在中，AB=AC=10，AD 为底边 BC 上的高，且 AD=6。将沿箭头所示的方ABCVACDV向平移，得到。如图（2），交 AB 于 E，分别交 AB、AD 于 G、F。以为直径作/A CDV/A D/A C/D D，设的长为 x，的面积为 y。Oe/BDOe（1）求 y 与 x 之间

7、的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）连结 EF，求 EF 与相切时 x 的值；Oe（3）设四边形的面积为 S，试求 S 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时，S 的值最大，最大/ED DF 值是多少？9.在平面直角坐标系中给定以下五个点1 7( 3 0)( 14)(0 3)(10)2 4ABCDE，（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；y （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；（3）已知点在抛物线的对称轴上，直线过点且垂直于对称轴验证：以1514F，17 4y 1714G，为圆心，为半径的圆与直线相切请你进一步验证，以抛物线上的点为圆

8、(10)E ，EF17 4y 1 7 2 4D，心为半径的圆也与直线相切由此你能猜想到怎样的结论DF17 4y yOx( 3 0)A ，(0 3)C，1 7 2 4D，(10)E ，GF( 14)B ，H10.如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片，为原点，点分别在轴，轴上，点坐OABCOAC，xyB标为（其中），在边上选取适当的点和点，将沿翻折，得到(2)m，0m BCEFOCEOE；再将沿翻折，恰好使点与点重合，得到，且OGEABFAFBGAGF90OGAo（1）求的值；m（2）求过点的抛物线的解析式和对称轴；OGA， （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若不存在，请说明理由

9、；若存在，POPG 直接答出所有满足条件的点的坐标（不要求写出求解过程）P【提示：抛物线的对称轴是，顶点坐标是】2(0)yaxbxc a2bxa 2424bacbaa，11、一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为 5 元，该店每天固定支出费用为 600 元(不含套餐成本)若每份售价不超过 10 元，每天可销售 400 份；若每份售价超过 10 元，每提 高 1 元，每天的销售量就减少 40 份为了便于结算，每份套餐的售价 x(元)取整数，用 y(元)表示该 店日净收入(日净收入每天的销售额套餐成本每天固定支出) (1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)若每份套餐售价不超

10、过 10 元，要使该店日净收入不少于 800 元，那么每份售价最少不低于多少元？(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入按此要求，每份套餐的售价应定 为多少元？此时日净收入为多少？1212、如图,抛物线与 x 轴分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接 AB,把 AB 所的直线沿 y 轴向24yxx上平移,使它经过原点 O,得到直线 l,设 P 是直线 l 上一动点. (1) 求点 A 的坐标; (2) 以点 A、B、O、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形, 请分别直接写出这些特殊四边形的顶点 P 的坐标; (3) 设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形的

11、面积为 S,点 P 的横坐标为 x,当时,求 x 的取值范围. 46 268 2S(第 28第 第l0yx -1-2-4-3-1-2-4-31243512313、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图 12-所示；1yx种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图 12-所示（注：利润与投资量的单位：万元）2yx（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；1y2yx（2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是 多少？ （注意：

12、在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效）14、（2008 山东潍坊）一家化工厂原来每月利润为 120 万元，从今年 1 月起安装使用回收净化设备（安 装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本.据测算，使用回收净化设备后的 1 至 x 月（1 x12）的利润的月平均值 w（万元）满足 w=10x+90,第二年的月利润稳定在第 1 年的第 12 个月的水 平。（1）设使用回收净化设备后的 1 至 x 月（1x12）的利润和为 y,写出 y 关于 x 的函数关系式， 并求前几个月的利润和等于 700 万元？（2）当 x 为何值时，使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和与不安

13、装回收净化设备时 x 个月的 利润和相等？（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。15、(2008 年福建省福州市)如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点 出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达 点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题： （1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由； （2）设BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时

14、，APRPRQ？（第 21 题）16、(2008 年福建省福州市) 如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐 标系已知 OA3，OC2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处 （1）直接写出点 E、F 的坐标； （2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴于点 P，且以点 E、F、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛 物线的解析式； （3）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最 小值

15、；如果不存在，请说明理由（第 22 题）17、（2008 年广东茂名市）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为 20 元件的工艺品投放市 场进行试销经过调查，得到如下数据：（1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数xyyx关系，并求出函数关系式；（4 分）（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（4 分）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 45 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（2 分）解：销售单价（元件）x30405060每天销售量（件）y50040030020010 20 30 40 50 60 70 80 x1002003004005006007008000y（第 24 题图）相关链接相关链接 : : 若是一元二次方程12,x x的两20axbxc(0)a 根，则1212,.bcxxx xaa 18、（2008 年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线=+y32x2bxc经过 A（0，4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5x1x2x2x1（1）求、的值；（4 分）bc（2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角